拜占庭将军问题 The Byzantine Generals problem（三）
拜占庭将军问题 The Byzantine Generals problem（三）
签字信息的问题求解A solution with signed messages
通过加强条件(发送不可伪造的签名信息)使问题更简单,在之前A1-A3的前提下新增A4:
A4 (a)一个忠诚的将军的签名不可伪造，任何对其签名信息的修改都会被发现
(b)任何人可以验证将军签名的真实性
没有对叛徒的签名做限制，叛徒间的签名可相互伪造。
接下来给出算法可以解决对任意数量>=m+2的将军数下有m个叛徒的情况。在算法中，司令发送带有签名的信息给其他将领，每一个将领添加其签名再信息中再发送给其他将领。算法定义一个选择函数choice,其在一个集合命令信息中选出一个，如下：
1.如果集合V只有一个值v,Choice(V) = v。
2.choice(∅) = RETREAT(撤退)。空集情况下。
可以注意到，可选择中值为函数的值。
定义
x:i 表示被将军i签名的值x ，则v:j:i 表示值v被将军j签名以后，然后又被将军i签名。令将军0号为命令的发送者。在算法里每一个将领i都有一个集合Vi ,集合里面包括他收到的被其他将军签名的信息。
算法SM(m).
初始化 Vi =∅.
(1)司令发送其签名信息v:0给每一个将领。
(2)对每一个将领i ：
(A)如果将领 i 收到从司令v:0，且其Vi =∅。 其操作如下：
(i)他令其Vi ={v}；
(ii)他发送v:0：i给每一个其他的将领.
(B)如果将领 i 收到信息v:0：j1:…:jk ,且v∉Vi，则：
(i)他将v加入自己的集合Vi；
(ii)如果k<m,则其发送v:0：j1:…:jk:i 给其他的将领∉j1，…，jk。
(3)对每一个将领i ：
当将领i 不再收到信息后，其遵守choice(Vi)
注意到第二步（2），将领i会忽略掉已经在集合Vi中的v值。且第三步没有指定将领如何判断其将不再收到信息。通过分析k的取值情况，可以简单的得出，对每一个将军序列形式j1:…:jk，k≤m,每个将领只能收到一条信息形式v:0：j1:…:jk 在第二步（2）。如果要求将领 jk 发送这样一条信息或者发送一条通知告知其不会发送这样一条信息。（通过前提A3,将领可以发现没有发送其中任何一条的叛徒）。超时设置可以作为信息可接收的判定，其他部分再讨论。
注意到第二步（2），将领i将会忽略到任何没有正确签有一串署名的值形式的信息。…
定理2.对任意的m，在至多m个叛徒的情况下，算法SM(m)解决拜占庭问题。
证明，在司令是忠诚的情况下，没有信息可被篡改。显然成立。
在司令是叛徒的情况下，需要证明IC1成立，则任意两个忠诚的将领i和j将遵循第三步获得的一致的命令。所以必须证明 将领i和j在第二步将相同的命令信息放进自己的集合。情况分析,可得有以下两种情况，如果将军i获得信息v,他把信息发送给将军j。如果将军i获得信息v：0：j1:…:jk ，且j在签名当中，则j已经把值v放进自己的集合。如果j不在签名当中,分析两种情况：
1.k<m.将军i将会发送信息v：0：j1:…:jk :i给将军j ,所以j获得信息v.
2.k=m.因为司令是叛徒，且有m-1个将领也是叛徒。所以在j1,…,jm 至少有一个将领是忠诚的。这个忠诚的将领必定有将获得的v值发送给将领 j，当他第一次收到这个信息的时候，将领j,必定收到信息。
证明结束。