使用 uBLAS 进行实对称正定矩阵的 Cholesky 分解

Cholesky 分解理论

矩阵分解——三角分解（Cholesky 分解）
矩阵分解——三角分解（二）

注：只有实对称矩阵才有 Cholesky 分解理论。

已知实对称正定矩阵 A ，其 Cholesky 分解形式为： A=LLT ， L 为下三角矩阵，计算 L=(ℓij) 的递推公式为：

ℓij=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎝aij−∑k=1j−1ℓ2ik⎞⎠1/2,1ℓjj⎛⎝aij−∑k=1j−1ℓikℓjk⎞⎠,0,i=ji>ji<j

uBLAS 相关 线性代数 API

uBLAS——Boost 线性代数基础程序库
uBLAS——Boost 线性代数基础程序库 （二）

• （1）内积

  ublas::inner_prod()

• （2）矩阵切片——取出矩阵的行

  ublas::row()

• （3）向量切片——取出向量的部分元素

  ublas::range()

C++ 实现

void chol(const ublas::symmetric_matrix& A, ublas::triangular_matrix& L)
{
    for (unsigned i = 0; i < A.size1(); ++i)
    {
        for (unsigned j = 0; j <= i; ++j)
        {
            if (i == j)
                L(i, i) = std::pow(A(i, i) - ublas::inner_prod(ublas::project(ublas::row(L, i), ublas::range(0, i)),
                ublas::project(ublas::row(L, i), ublas::range(0, i))), 1. / 2);
            L(i, j) = (A(i, j) - ublas::inner_prod(ublas::project(ublas::row(L, i), ublas::range(0, j)),
                ublas::project(ublas::row(L, j), ublas::range(0, j)))) / L(j, j);
        }
    }
}