Python数据分析 - 机器学习笔记：第一章数据分析 - 1.2.4.矩阵和矢量运算

前言：本文是学习网易微专业的《python全栈工程师》 中的《数据分析 - 机器学习工程师》专题的课程笔记，欢迎学习交流。

一、课程目标

• 掌握矩阵的创建方法
• 掌握矢量运算的基本方法

二、详情解读

2.1.掌握矩阵的创建方法

2.1.1.区分

• 矩阵：矩阵是numpy库的一种对象
• 矩阵 $\ne$ 二维数组

1.创建矩阵：

方法一：

import numpy as np
A = np.mat([1, 2, 3])

运行结果：

矩阵也有shape属性

A.shape

运行结果：

方法二：

B = np.mat('1 2 3; 4 5 6; 7 8 9')  # 方阵

运行结果：

方法三：

# 数组作为参数，创建矩阵
M1 = np.mat(np.eye(3))
M2 = 2 * M1

运行结果：


方法四：矩阵的合并

np.bmat('M1 M2; M2 M1')

运行结果：

2.矩阵间的乘法：

先初始化两个数组：

a = np.arange(1, 10).reshape((3, 3))
b = np.array([[1, 0, 1], [0, 1, 1], [1, 1, 0]])
print(a)
print('-'*10)
print(b)

运行结果：

两个数组用“*”相乘，对应元素相乘

a * b

运行结果：

两个矩阵用“*”相乘

A = np.mat(a)
B = np.mat(b)
A *　B

运行结果：

原理图解：

下面的计算与上述等价：

np.dot(a, b)

运行结果：

矩阵的转置：

A.T

运行结果：

2.2.矢量运算

2.2.1.标量积

• 标量积（英语：Scalar Product）是两个矢量相乘的一种方式和结果。
• 也被称为数量积、点积（英语：Dot Product）、内积（英语：Inner Product）。
• 按照这种方式两个矢量相乘的结果是一个标量。

代数理解：
假设两个矢量$a=[a_1,a_2,a_3,...a_n]$ 和$b=[b_1,b_2,b_3,....b_n]$，它们的点积定义为：
$$a\cdot b=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+...+a_n{b}_n$$
或者$$a\cdot b=|a{b}^T|$$
其中$b^T$是向量$b$的转置，而$|a{b}^T|$是$a{b}^T$的行列式。

几何理解：
以平面坐标系中的两个矢量为例，两个矢量$a$和$b$，它们的夹角是$\theta$，则
$$a\cdot b=|a||b|cos\theta$$

示例：
计算函数：np.dot()

c = np.array([[1, 2], [3, 4]])
d = np.array([[5, 6], [7, 8]])
np.dot(c, d)

运行结果：


对比另外一个：np.inner()

np.inner(c, d)

运行结果：


对于二维数组，1轴是最后轴（last axes），np.inner()即是将两个数组1轴上的元素分别对应相乘并求和，并得到最终的数组。

2.2.2.矢量积

• 矢量积（英语：Vector Product），又可以称为叉积（英语：Cross Product）或外积（英语：Outer Product）
• 其运算结果是一个矢量，并且矢量方向与原来两个矢量所构成的平面垂直

代数理解：
我们以三维坐标系中的两个矢量为例，即$a=a_{x}i+a_{y}j+a_{z}k$和$b=b_{x}i+b_{y}j+b_{z}k$，则：
$$a\times b=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|=(a_y{b}_z-a_z{b}_y)i+(a_z{b}_x-a_x{b}_z)j+(a_x{b}_y-a_y{b}_x)k$$

代数理解：
还是以平面坐标系中的两个矢量为例，两个矢量$a$和$b$，它们的夹角是$\theta$，如果对这两个矢量计算矢量积，最后结果的大小等于这两个矢量为相邻两边的平等四边形的面积，即：
$$a\times b=|a||b|sin\theta$$

numpy中计算矢量积：np.cross()

v = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([9, 8, 7])
np.cross(v, b)

运行结果：

计算过程：
$$\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ 1& 2& 3\\ 9& 8& 7\end{array}\right|=(2\times 7-3\times 8)i+(1\times 8-2\times 9)j=-10i+20j-10k$$
np.cross()的参数不仅仅可以是一维数组（矢量），还可以是多维。

三、课程小结

• 01 矩阵乘法
• 02 标量积、矢量积