LU分解、LDLT分解和Cholesky分解

LU分解

概念：假定我们能把矩阵A写成下列两个矩阵相乘的形式：A=LU，其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。这样我们可以把线性方程组Ax= b写成

Ax= (LU)x = L(Ux) = b。令Ux = y，则原线性方程组Ax = b可首先求解向量y 使Ly = b，然后求解 Ux = y，从而达到求解线性方程组Ax= b的目的。

LU分解的基本思想

将系数矩阵A转变成等价的两个矩阵L和U的乘积，其中L和U分别是下三角和上三角矩阵，而且要求L的对角元素都是1；

由LU = A及对L和U的要求可以得到分解的计算公式。根据下式（独立特尔Doolittle分解）：

在计算机程序中常常用到这种方法解线性代数方程组。它的优点是存储量很省。L和U中的三角零元素都不必存储，这样只用一个n阶仿真就可以把L和U存储起来。

即：下三角存储L各元素而上三角存储U的元素。

再考察公式S会发现A中任一元素aij只在计算lij（j<=i）和uij(u>=j)中用到一次，以后就不再出现了，因为完全可以利用原始数据A的单元，一个个逐次存储L或U中

的相应元素，即：

当系数矩阵A完成了LU分解后，方程组Ax = b就可以化为L(Ux) = b，等价于求解两个方程组Ly = b和Ux = y；

具体计算公式为

采用LU分解有如下特点：

（1）LU分解与右端向量无关。先分解，后回代，分解的运算次数正比于n^3，回代求解正比于n^2。遇到多次回代时，分解的工作不必重新做，这样节省计算时间。

（2）分解按步进行，前边分解得到的信息为后边所用。

（3）【A】矩阵的存储空间可利用，节省存储。

LDLT分解法

实际问题中，当求解方程组的系数矩阵是对称矩阵时，则用下面介绍的LDLT分解法可以简化程序设计并减少计算量。

从定理可知，当矩阵A的各阶顺序主子式不为零时，A有唯一的Doolittle分解A= LU。矩阵U的对角线元素Uii 不等于0，将矩阵U的每行依次提出，

定理：若对称矩阵A的各阶顺序主子式不为零时，则A可以唯一分解为A= LDLT，这里

LT为L的转置矩阵。

当A有LDLT分解时，利用矩阵运算法则及相等原理易得计算ljk和dk的公式为

Cholesky分解

Cholesky分解是一种分解矩阵的方法, 在线形代数中有重要的应用。Cholesky分解把矩阵分解为一个下三角矩阵以及它的共轭转置矩阵的乘积（那实数界来类比的话，此分解就好像求平方根）。与一般的矩阵分解求解方程的方法比较，Cholesky分解效率很高。

Cholesky分解的条件

 

一、Hermitianmatrix：矩阵中的元素共轭对称（复数域的定义，类比于实数对称矩阵）。Hermitiank意味着对于任意向量x和y，(x*)Ay共轭相等

二、Positive-definite：正定（矩阵域，类比于正实数的一种定义）。正定矩阵A意味着，对于任何向量x，(x^T)Ax总是大于零(复数域是(x*)Ax>0)

 

Cholesky分解的形式

 

可记作A = L L*。其中L是下三角矩阵。L*是L的共轭转置矩阵。

可以证明，只要A满足以上两个条件，L是唯一确定的，而且L的对角元素肯定是正数。反过来也对，即存在L把A分解的话，A满足以上两个条件。

 

如果A是半正定的（semi-definite），也可以分解，不过这时候L就不唯一了。

 

特别的，如果A是实数对称矩阵，那么L的元素肯定也是实数。

 

另外，满足以上两个条件意味着A矩阵的特征值都为正实数，因为Ax = lamda * x,

(x*)Ax = lamda * (x*)x > 0, lamda > 0

 

 

Cholesky分解的方式

.

可以使用高斯消元法分解矩阵。过程如下：

设A = | a11    w*|

         | w      K|

= (R1*) * | 1                 0 | * R1

| 0  K – w(w*)/a11|

其中，

R1* = | 1                   0|

| w/sqrt(a11)         I |

R1 = | 1   w/sqrt(a11)|

| 0              I |

如果K –w(w*)/a11大于零，那么就可以一直分解下去。因为它是一个正定矩阵的子矩阵，所以肯定可以满足。

最后：

R* = (R1*)(R2*)…(Rm*)

R  =(Rm)…(R2)(R1)

 

因为矩阵的一半元素很相似，所以算法只需要实现一半就可以了。数据也可以只用一半，这样就节约了很多时间。同样，输出只需要一个上三角矩阵就可以了。

 

Cholesky分解的算法实现

 

R = A

For (k = 0, k < m; k++){

       For(j = k; j < m; j++){

       Rj,j:m = Rj,j:m – Rk,j:m Rkj / Rkk            -(1)

}

Rk,k:m = Rk,k:m/ sqrt(Rkk)

}

为了节约数据空间，其中，A仅初始化为上三角矩阵。Cholesky分解的效率分析, 由于(1) 式占用了O（m）的时间，所以总计O（m^3 / 3）。