【BZOJ5153】【UOJ348】【WC2018】州区划分

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【思路要点】

• 定义\(sum_S\)表示集合\(S\)包含的城市人口总数的\(p\)次方。
• 定义\(g_S\)，当\(S\)是一个合法的州区，\(g_S=sum_S\)，否则\(g_S=0\)。
• 定义\(f_S\)表示\(S\)所有可行的州区划分的方案的满意度之和。
• 那么\(f_S=\sum_{T\subseteq S,T\ne\emptyset}\frac{g_T*f_{S-T}}{sum_S}\)。
• 直接通过枚举子集实现该动态规划可以得到一个\(O(3^N)\)的做法。
• 注意到该方程实际上是一个子集卷积的形式，用FWT实现该动态规划，复杂度降至\(O(N^2*2^N)\)。

【附：子集卷积介绍】

• 前置技能：子集或卷积。
• 我们知道，子集或卷积实现了快速求解\(f_S=\sum_{A\cap B=S}g_A*h_B\)。
• 考虑如何快速求解\(f_S=\sum_{A\cap B=S,A\cup B=\emptyset}g_A*h_B\)。
• 上式等价于\(f_S=\sum_{A\cap B=S,|A|+|B|=|S|}g_A*h_B\)。
• 考虑多记录一维状态，记\(f'_{i,S}\)，当\(i=|S|\)，\(f'_{i,S}=f_S\)，否则\(f'_{i,S}=0\)。
• 类似地，定义\(g'_{i,S}\)和\(h'_{i,S}\)。
• 则有\(f'_{i,S}=\sum_{A\cap B=S,j+k=i}g'_{j,A}*h'_{k,B}\)。
• 对于\(f'_{i,*}\)，枚举\(j\)，用子集或卷积计算该\(j\)的贡献，然后扫描数组，剔除\(f_{i,S}\)中\(i\ne |S|\)的情况。
• 时间复杂度\(O(N^2*2^N)\)。

【代码】

#include
using namespace std;
const int MAXN = 25;
const int MAXM = 505;
const int MAXS = 1 << 21;
const int P = 998244353; 
template  void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template  void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template  void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template  void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template  void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
int power(int x, int y) {
	if (y == 0) return 1;
	int tmp = power(x, y / 2);
	if (y % 2 == 0) return 1ll * tmp * tmp % P;
	else return 1ll * tmp * tmp % P * x % P;
}
int n, m, p, u;
int d[MAXN], b[MAXN];
int x[MAXM], y[MAXM];
int bit[MAXN], val[MAXN];
int sum[MAXS], bcnt[MAXS];
int f[MAXN][MAXS], g[MAXN][MAXS];
int F(int x) {
	if (x == b[x]) return x;
	else return b[x] = F(b[x]);
}
void FWT(int *a, int N) {
	for (int len = 2; len <= N; len <<= 1)
	for (int s = 0; s < N; s += len)
	for (int i = s, j = s + len / 2; j < s + len; i++, j++)
		a[j] = (a[i] + a[j]) % P;
}
void UFWT(int *a, int N) {
	for (int len = 2; len <= N; len <<= 1)
	for (int s = 0; s < N; s += len)
	for (int i = s, j = s + len / 2; j < s + len; i++, j++)
		a[j] = (a[j] - a[i] + P) % P;
}
int main() {
	read(n), read(m), read(p);
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		read(x[i]), read(y[i]);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		read(val[i]), bit[i] = 1 << (i - 1);
	u = 1 << n;
	for (int s = 0; s < u; s++) {
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			if (s & bit[i]) sum[s] += val[i], bcnt[s]++;
		sum[s] = power(sum[s], p);
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			d[i] = 0, b[i] = i;
		for (int i = 1; i <= m; i++)
			if ((s & bit[x[i]]) && (s & bit[y[i]])) {
				d[x[i]]++, d[y[i]]++;
				b[F(x[i])] = F(y[i]);
			}
		int home = -1;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			if (d[i] & 1) g[bcnt[s]][s] = sum[s];
			if (bit[i] & s) {
				int tmp = F(i);
				if (home == -1) home = tmp;
				else if (tmp != home) g[bcnt[s]][s] = sum[s];
			}
		}
		sum[s] = power(sum[s], P - 2);
	}
	for (int i = 0; i <= n; i++)
		FWT(g[i], u);
	f[0][0] = 1;
	FWT(f[0], u);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; j < i; j++)
		for (int s = 0; s < u; s++)
			f[i][s] = (f[i][s] + 1ll * f[j][s] * g[i - j][s]) % P;
		UFWT(f[i], u);
		for (int s = 0; s < u; s++)
			if (bcnt[s] != i) f[i][s] = 0;
			else f[i][s] = 1ll * f[i][s] * sum[s] % P;
		FWT(f[i], u);
	}
	UFWT(f[n], u);
	printf("%d\n", f[n][u - 1]);
	return 0;
}