欧几里得算法及其证明

欧几里得算法是用来求两个数的最大公约数（greatest common divisor(gcd)），其具体过程如下：
有 $a,b$ 两个正整数，现在按以下步骤求它们最大公约数,即 $gcd(a,b)$ :
$$a/b=q_1\cdots \cdots r_1$$
$$b/r_1=q_2\cdots \cdots r_2$$
$$r_1/r_2=q_3\cdots \cdots r_3$$
$$\cdots \cdots$$
$$r_m/r_n=q_t\cdots \cdots 0$$
如此反复迭代直至余数为0，最终得到的 $r_n$ 就是 $a,b$ 的最大公约数，这就是欧几里得算法。
欧几里得算法的证明可以转化为 $gcd(a,b)=gcd(b,r_1)=gcd(r_1,r_2)=\cdots =gcd(r_m,r_n)$ 的证明，实际只要证明$gcd(a,b)=gcd(b,r_1)$ ，后面的式子同理可得，其证明如下：
前提公理：若 $a=md,b=nd$($m、n、d_1$ 为正整数)，
　　　　　则 $m,n$ 互质 $⟺$ $d$ 为 $a、b$ 的最大公约数。
假设 $gcd(a,b)=d_1$ 即$a、b$ 最大公约数为 $d_1$，并且有
$$a=m{d}_1,b=n{d}_1(m、n、d_1为正整数)$$
又有$a=bq+r_1,b=n{d}_1$，则
$$r_1=a-bq=(m-nq)d_1$$
现在只要证明$n、(m-nq)$ 互质再利用前提公理就可证明 $gcd(b,r_1)=d_1$
假设 $n、(m-nq)$不是互质的，有 $gcd(n,m-nq)=d_2(d_2>1)$ 且
$$n=x{d}_2,m-nq=y{d}_2(x、y、d_2为正整数)$$
则
$$m=nq+y{d}_2=(xq+y)d_2$$
那么$$a=md=(xq+y)d_1{d}_2$$
$$b=nd=x{d}_1{d}_2$$
$a、b$ 的最大公约数变成 $d_1{d}_2$ ,不符合假设条件 $gcd(a,b)=d_1$ ，故 $n、(m-nq)$ 互质。
由前提公理可得：
$$gcd(b,r_1)=d_1$$
故
$$gcd(a,b)=gcd(b,r_1)=d_1$$
由此证明欧几里得算法。