欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:
定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数,则有
d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数,则
d | b , d |r ,但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证
欧几里德算法就是根据这个原理来做的,其算法用C++语言描述为:
void swap(int & a, int & b)
{
int c = a;
a = b;
b = c;
}
int gcd(int a,int b)
{
if(0 == a )
{
return b;
}
if( 0 == b)
{
return a;
}
if(a > b)
{
swap(a,b);
}
int c;
for(c = a % b ; c > 0 ; c = a % b)
{
a = b;
b = c;
}
return b;
}
模P乘法逆元
对于整数a、p,如果存在整数b,满足ab mod p =1,则说,b是a的模p乘法逆元。
定理:a存在模p的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p) = 1
证明:
首先证明充分性
如果gcd(a,p) = 1,根据欧拉定理,a^φ(p) ≡ 1 mod p(φ(p) 表示 {0,1,...,p-1}中有多少整数与p互素),因此
显然a^(φ(p)-1) mod p是a的模p乘法逆元。
再证明必要性
假设存在a模p的乘法逆元为b
ab ≡ 1 mod p
则ab = kp +1 ,所以1 = ab - kp
因为gcd(a,p) = d
所以d | 1
所以d只能为1
欧几里得算法:
(1)迭代版本
[cpp] view plaincopy
(2)递归版本
[cpp] view plaincopy
定理2:(由法国数学家拉梅证明)欧几里得算法所需除法次数不超过m和n中较小的那个数的十进制位数的5倍
定理3:(稍弱点)……不超过2 log(n+1),其中n为较小的数
扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y使得ax+by = Gcd(a, b) =d(解一定存在,根据数论中的相关定理)。
设 a>b。
1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;
2,ab!=0 时
设 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以
结束。
对于不定整数方程pa+qb=c,若 c mod Gcd(a, b)=0,则该方程存在整数解,否则不存在整数解。
上面已经列出找一个整数解的方法,在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后, /*p * a+q * b = Gcd(a, b)的其他整数解满足:
p = p0 + b/Gcd(a, b) * t
q = q0 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
至于pa+qb=c的整数解,只需将p * a+q * b = Gcd(a, b)的每个解乘上 c/Gcd(a, b) 即可
在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后,应该是
得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b)),p * a+q * b = c的其他整数解满足:
p = p1 + b/Gcd(a, b) * t
q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。
编程时 exgcd 更多用于求解“中国余数定理”相关知识 举个例子 比如n除以5余2 除以13余3 那么n最小是多少,所有的n满足什么条件?
n(min)=42
n=42+k*65
中国剩余定理:
设总数为n,模a得x,模b得y,模c得z,若已知x,y,z,让求出最小的n。
则n=(x*a1+y*b1+z*c1)%d;
其中a1=y*z中的倍数中模a等于1的最小的数;
b1=x*z中的倍数中模b等于1的最小的数;
c1=x*y中的倍数中模c等于1的最小的数;
d=a,b,c的最小公倍数。
中国剩余定理原版之韩信点兵版:
传说韩信点兵时发明的算法。设士兵总数为n,模3得x,模5得y,模7得z,若已知x,y,z,让求出最小的n。
则n=(x*70+y*21+z*15)%105;
可以用下面的小诗帮助记忆。
三人成行七十稀;70为35(5×7)的倍数中模3等于1的最小的数;
五树梅花廿一枝;21为21(3×7)的倍数中模5等于1的最小的数;
七子团圆月正半;15为15(3×5)的倍数中模7等于1的最小的数;
除百零五便得之。105为3,5,7的最小公倍数。
如果不是3,5,7用同样的方法求解。
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