二分-牛客寒假集训营5-B-牛牛战队的比赛地

二分-牛客寒假集训营5-D-牛牛与牛妹的约会

题目：

题意：

$$\begin{gathered} 输入直角坐标系中N个点的坐标x_i,y_i，求N个点v_1,v_2,...,v_N中任一点到达X轴上某定点距离的最大值， \\ 输出这些最大值当中的最小值。 \end{gathered}$$

$样例中，三个点到点(x,0)的距离分别是|x|、|2-x|、\sqrt{(x-0{)}^2+(0-2{)}^2}=\sqrt{x^2+4}$

$容易发现,当x>=0时，\sqrt{x^2+4}>=\sqrt{x^2+4-4x}=\sqrt{(2-x{)}^2}=|2-x|,且\sqrt{x^2+4}>\sqrt{x^2}=|x|,$

$因此，当x>=0时，3个点到X轴上的点(x,0)的最大距离是点(0,2)到(x,0)的距离\sqrt{x^2+4}>=2。$

$对x<0时，|x|<\sqrt{x^2+4}<\sqrt{x^2+4-4x}=|2-x|,最大值是点(2,0)到点(x,0)的距离|2-x|>2。$

$所以距离最大值的最小值是2，在点(0,0)处取得。$

题解：

$目标就是找到所有点到X轴某一点最大值的最小值。$

$结合数据范围应该是个O(Nlo{g}_{2}N)的做法,又因为点在X轴上,且要求最小值，考虑二分法。$

$接着是判断条件的选取，若考虑二分最终答案——最小值，那么由于点的未知，无法计算各点到X轴上点的距离。$

$因此考虑二分取到最小值时X轴上的点。$

$二分X轴上的点mid，每次枚举计算N个点到该点距离的最大值，同时pos记录最大值点的下标i，$
$res记录这些最大值中的最小值，因为要求最大值中的最小值，所以mid应当靠近pos,使得最大值变小。$
$若mid>=x[pos]，说明二分的点mid在pos的右边,更新r=mid，反之更新l=mid，最后输出答案res。$

代码：

#include
#define ll long long
#define inf 0x7fffffff
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
int N;
double x[maxn],y[maxn];
double mdis,res=inf,mlx=-1,mrx=1;//这里左端点mlx应当要小于mrx，避免出现二者相等的情况

double dis(int a,double b)
{
    return sqrt((x[a]-b)*(x[a]-b)+y[a]*y[a]);
}

int main()
{
    cin>>N;
    for(int i=0;i<N;i++)
    {
        scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);
        mlx=min(mlx,x[i]),mrx=max(mrx,x[i]);
    }

    double l=mlx,r=mrx;
    while(r-l>1e-6)
    {
        double mid=(l+r)/2;
        int pos;
        mdis=0;//要计算每一次的最大值
        for(int i=0;i<N;i++)
            if(mdis<=dis(i,mid))
            {
                pos=i;
                mdis=dis(i,mid);
            }
            
        res=min(res,mdis);

        if(mid>=x[pos]) r=mid;
        else l=mid;
    }

    printf("%.4f\n",res);

    return 0;
}

总结：

1. $实数二分计算mid时不可用l+r>>1。$
2. $实数二分循环条件不能判l<r，否则会死循环。$

补充：

$$\begin{gathered} 在求二分左右端点的极限mlx和mrx时，由于存在所有点的横坐标相等的情况，所以mlx初始值不能大于mrx， \\ 否则会出现二者相等的情况。 \end{gathered}$$

$事实上不求mlx和mrx，直接将二分端点l和r设为数据范围的端点l=-10000,r=10000应当是最简洁方便的。$