LeetCode 53. 最大子序和（动态规划）

1. 题目描述

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/
《剑指Offer》同题：面试题42. 连续子数组的最大和

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

进阶:
如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。

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2. 解题

类似题目：程序员面试金典 - 面试题 17.24. 最大子矩阵（转成一维最大子序和 DP）

2.1 暴力求解

双重循环O（n²）时间复杂度

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) 
    {
        if(nums.size() == 0) 
            return 0;
        int max = nums[0];//最大值
        int sum=0, i, j;
        for(i = 0; i< nums.size(); ++i)
        {
            sum=0;
            for(j = i; j< nums.size(); ++j)
            {
                sum += nums[j];
                if(sum > max) //实时更新最大值
                    max = sum;
            }
        }
        return max;
    }
};

2.2 动态规划

状态转移方程
$maxsum[i]=max(maxsum[i-1]+num[i],num[i])$
表示到i元素，最大子序列和的最大值
把所有maxsum[i]的元素最大值返回就是答案

if maxsum[i-1] + num[i] >= num[i]	//num[i]起
	maxsum[i] = maxsum[i-1] + num[i]
else 
	maxsum[i] = num[i]

maxSumOfSubArr = max{maxsum[0],maxsum[i]...maxsum[n-1]}

时间复杂度O（n）

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8
nums[i]	-2	1	-3	4	-1	2	1	-5	4
maxsum[i]	-2	max(-2+1,1)=1	max(1-3,-3)= -2	4	3	5	6	1	5

class Solution
{
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums)
    {
        int maxSumOfArr = INT_MIN, maxsum = 0;
        for(int i = 0; i < nums.size(); ++i)
        {
            maxsum = max(nums[i],maxsum+nums[i]);
            maxSumOfArr = max(maxSumOfArr, maxsum);
        }
        return maxSumOfArr;
    }
};

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int i, n = nums.size(), ans = nums[0];
        vector<int> dp(n,0);
        dp[0] = nums[0];
        for(i = 1; i < n; ++i)
        {
        	if(dp[i-1] >= 0)
        		dp[i] = nums[i]+dp[i-1];
        	else
        		dp[i] = nums[i];
        	ans = max(ans,dp[i]);
        }
        return ans;
    }
};