扩展欧几里得算法及证明

一.扩展欧几里得算法是求a*x+b*y=c的通解。

二.若a*x+b*y=c有解，设t=gcd(a,b),则c%t=0。

三.证明： 1.设a*x+b*y=t,当b=0时，t=a（为什么？因为gcd算法，if(b==0) return a;），则有a*x=a，易得x=1.

                2.设a*x1+b*y1=gcd(a,b),b*x2+(a%b)*y2=gcd(b,a%b);由于gcd(a,b)=gcd(b,a%b),联立有：a*x1+b*y1=b*x2+(a%b)*y2。

                3.a%b=a-floor(a/b)*b;(floor表示向下取整）。

                4.将3的结论带入2的等式：a*x1+b*y1=b*x2+[a-floor(a/b)*b]*y2;

                5.将a,b示为未知数：整理等式：a*x1+b*y1=a*y2+[x2-y2*floor(a/b)]*b;

                6.由5的等式：x1=y2, y1=x2-(a/b)*y2;(计算机整数除法为向下取整）；

                则得到扩展欧几里得递归做法（实质为层层迭代，当b=0时，x=1，然后往上迭代）：

           

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int ans=ex_gcd(b,a%b,x,y);//获得x2,y2;
    int temp=x;//存储x2
    x=y;//x1=y2
    y=temp-(a/b)*x;//y1=x2-(a/b)*y2
    return ans;
}

　　前文已经说了，求出来的x,y有 a*x+b*y=gcd(a,b);

     易构造：a*(x+n*b)+b*(y+n*a)=gcd(a,b);

  则得到 x=x1+n*b        y=y1+n*a;

 但要注意：x,y并不是其方程所有解。

设 a1=a/gcd(a,b); b1=b/gcd(a,b);

则 a1*x+b1*y=1;

此时x=x+n*b,y=y+n*a为其通解

最小正整数解：

while(x<0)
{
x+=b1;
y+=a1;
}

 

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