糖果传递

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思路分析：环形均分纸牌模型
设总和为$sums$，共有$n$张牌，易得$avg=\frac{sums}{n}$。由下图我们可以列出关系式：$$\{\begin{array}{ll}{a}_1+x_2-x_1=avg& \\ a_2+x_3-x_2=avg& \\ \dots & \\ a_n+x_1-x_n=avg& \end{array}$$
便有$an{s}_{min}=|x_1|+\dots +|x_n|$。
合并同类型，整理易得：
$$\{\begin{array}{ll}{x}_2-x_1=avg-a_1& \\ x_3-x_2=avg-a_2& \\ \dots & \\ x_1-x_n=avg-a_n& \end{array}$$
由于$x_1-x_n=avg-a_n$，推导得$x_n=x_1-(avg-an)$。同理，易得$x_{n-1}=x_n-(avg-a_{n-1})$。代入$x_n$后不难发现所有的$x_i$均可以由$x_1$推导得到，所以就有$x_i=x_1-C_i$且$C_i=C_{i+1}+avg-a_i(i>=1)$。其中$C_1=0$，那么$an{s}_{min}$就等价于$|x_1-C_1|+|x_1-C_2|+\dots +|x_1-C_n|$。原问题就转化为在数轴上取一点$x_1$
使得该点到$C_i$的距离总和最小。

$Code:$

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include 
using namespace std;
#define MaxN 1000010
//#define MOD 998244353
#define PI acos(-1.0)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define endl '\n'
#define LL long long
#define PII pair
#define rint register int 
#define ULL unsigned long long
const int MOD=1e9+7;
//int days[13]={0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};
//int dir[4][2]={{-1,0},{1,0},{0,-1},{0,1}};
template<class T> inline void read(T& x){
    x=0;int f=0;char ch=getchar();
    while( !isdigit(ch) ) f|=( ch == '-' ) , ch=getchar();
    while( isdigit(ch) )  x = ( x<<1 ) + ( x<<3 ) + ( ch^48 ) , ch=getchar();
    x = f ? -x : x;
}
template<class T> inline void print(T x){
    if ( x < 0 ) { putchar('-'); x = -x; }
    if ( x >= 10 ) print( x / 10 );
    putchar(x % 10 + '0');
}
LL A[MaxN],C[MaxN];
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    int n;
    cin>>n;
    LL sums=0,avg;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        cin>>A[i];
        sums+=A[i];
    }
    avg=sums/n;
    for(int i=n; i>=1; i--){
        C[i]=C[i+1]+avg-A[i];
    }
    C[1]=0;
    sort(C+1,C+1+n);
    LL ans=0;
    for(int i=1; i<=n; i++) ans+=abs(C[i]-C[(n+1)/2]);
    cout<<ans;
    return 0; 
}