扩展欧几里得算法详解
对于不完全为 0的非负整数a，b，gcd(a,b)表示a，b的最大公约数，必然存在整数x和y，使得gcd(a,b)=ax+by。
解析：
设a、b不全为0，令a>b，
当b=0时，gcd(a,b)=a,解的情况为x=1，y=0
当ab！=0，令a*x1+b*y1 = gcd(a,b)，所以b*x2+(a%b)*y2 =gcd(b,a%b)
又gcd(a,b) = gcd(b,a%b)（欧几里得算法）
故有a*x1+b*y1 = b*x2+(a%b)*y2
= b*x2+( a-(a/b)*b )*y2
= b*x2+a*y2-(a/b)*b*y2
= a*y2+b*(x2-(a/b)*y2)
即有x1=y2, y1=x2-(a/b)*y2
因此x1与y1的值可由x2、y2推知，拓展欧几里得算法的求解过程就是不断地的将b放小，直至b等于0，最后反推求x和y。
//Date:2015.05.05
//扩展欧几里得算法的递归与非递归实现
#include
#include
#include
using namespace std;
int recursive_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(b==0){
x=1;
y=0;
return a;
}
int r=recursive_gcd(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return r;
}
int iterative_gcd(int m,int n,int &x,int &y){
int x1,y1,x0,y0;
x0=1;x1=0;x=0;
y0=0;y1=1;y=1;
int r=m%n;
int q=m/n;
while(r){
x=x0-q*x1;x0=x1;x1=x;
y=y0-q*y1;y0=y1;y1=y;
m=n; n=r; r=m%n;
q=m/n;
}
return n;
}
int main(){
int a,b,x,y,r;
mt19937 engine(time(NULL));
uniform_int_distribution distribution(0,100000);
a=distribution(engine);b=distribution(engine);
printf("a*x+b*y=gcd(a,b)\n");
r = recursive_gcd(a,b,x,y);
printf("递归 : (%d) * (%d) + (%d) * (%d) = %d\n",a,x,b,y,r);
r = iterative_gcd(a,b,x,y);
printf("迭代 : (%d) * (%d) + (%d) * (%d) = %d\n",a,x,b,y,r);
return 0;
} 应用：
1.求解不定方程ax+by=c :
对于不定整数方程ax+by=c ，若cmod gcd(a,b)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
故当c mod gcd(a,b)=0时，先用扩展欧几里得算法求出ax+by=gcd(a,b)的一组解x1,y1。
令k= c/gcd(a,b)；则x2=x1*k，y2=y1*k为ax+by=c的一组解。
x=x2+b/gcd(a,b)*t，y=y2-a/gcd(a,b)*t (t为整数)，即为ax+by=c的所有解。
2.求解乘法逆元
在密码学中，有限域GF(p)是一个很重要的域，其中p为素数。简单来说，GF(p)就是mod p，因为一个数模p后，结果在[0, p-1]之间。GF(p)里面的乘法即为一般的乘法运算。为什么p一定要是一个素数呢？这是因为当p为素数时，才能保证集合中的所有的元素都有乘法逆元(0除外)。假设p等于10，对于元素2，找不到一个数x，使得2*x mod10等于1。如果p是素数，那么对于域中的任一个元素a，总能在域中找到另外一个元素x，使得a*xmod p等于1，其中a与互为乘法逆元。也即若gcd(a,p)=1；则ax+py=1；
但是我们希望0到255这256个数字也能组成一个域，因为很多领域需要用到。mod 256的余数范围是0到255，不过256不是素数。为此我们定义一个素多项式m(x)=x^8+ x^4 + x^3 +x +1（类似素数，素多项式不能表示为其他两个多项式的乘积），于是0到255可以通过mod m(x)这样的方式组成一个域GF(2^8)，域中的每一个元素都存在乘法逆元(0的乘法逆元定义为0)。
注：有限域GF(2^8)中的加法运算为异或运算，减法与加法等价。
//Date:2015.05.05
//扩展欧几里得算法求解有限域GF(2^8)内的乘法逆元
#include
using namespace std;
const int Bit_Num=sizeof(int)*8;
//求解非零最高位
int index_of_max(int value){
int index=0;
for(int i=0;i