雷诺运输定理笔记
今天看到了雷诺运输定理(Reynolds transport theorem)，想了想好像和带参变量的求导公式很像。于是自己推了推，并拿人口平衡方程population balance equation试了试手，记个笔记。
雷诺运输定理
d d t ∫ Ω ( t ) f ( x , t ) d V = ∫ Ω ( t ) ∂ f ( x , t ) ∂ t d V + ∫ ∂ Ω ( t ) ( v ⋅ n ) f ( x , t ) d A \frac{d}{d t} \int_{\Omega(t)} f(x, t) d V=\int_{\Omega(t)} \frac{\partial f(x, t)}{\partial t} d V+\int_{\partial \Omega(t)}(v \cdot n) f(x, t) d A dtd∫Ω(t)f(x,t)dV=∫Ω(t)∂t∂f(x,t)dV+∫∂Ω(t)(v⋅n)f(x,t)dA
记(,)为物质的量函数，()为物质所在的空间，它会随时间变化，且拥有光滑的边界()。则关于f的微分如同上式，这个就是雷诺运输定理。,为x的体积元和表面积元，v为速度场函数（不是单纯的流速），当(,)为向量的时候，(,)为向外指向的正单位向量；
特殊形式
当与时间无关的时候，速度场函数v=0，则原式退化为
d d t ∫ Ω f ( x , t ) d V = ∫ Ω ∂ f ( x , t ) ∂ t d V \frac{d}{d t} \int_{\Omega} f(x, t) d V=\int_{\Omega} \frac{\partial f(x, t)}{\partial t} d V dtd∫Ωf(x,t)dV=∫Ω∂t∂f(x,t)dV
更进一步，将f退化为一维，并假设∈[(),()]，则有下式，这个就是带参变量的积分求导公式。
d d t ∫ a ( t ) b ( t ) f ( x , t ) d x = ∫ a ( t ) b ( t ) ∂ f ( x , t ) ∂ t d x + ( ∂ b ( t ) ∂ t f ( b ( t ) , t ) − ∂ a ( t ) ∂ t f ( a ( t ) , t ) ) \frac{d}{d t} \int_{a(t)}^{b(t)} f(x, t) d x=\int_{a(t)}^{b(t)} \frac{\partial f(x, t)}{\partial t} d x+\left(\frac{\partial b(t)}{\partial t} f(b(t), t)-\frac{\partial a(t)}{\partial t} f(a(t), t)\right) dtd∫a(t)b(t)f(x,t)dx=∫a(t)b(t)∂t∂f(x,t)dx+(∂t∂b(t)f(b(t),t)−∂t∂a(t)f(a(t),t))
推导高维PBE
先写一条通过化学粒子式推出来的PBE吧，这里c是物质的密度，t是时间，J是物质流，x是物质的位置，f相当于一个密度变化的外在影响函数，和x,t,c有关
∂ c ( x , t ) ∂ t = − ∂ J ( x , t ) ∂ x + f ( x , t , c ) \frac{\partial c(x, t)}{\partial t}=-\frac{\partial J(x, t)}{\partial x}+f(x, t, c) ∂t∂c(x,t)=−∂x∂J(x,t)+f(x,t,c)
进入到高维时，直接考虑区域()内的生灭过程，有：
d d t ∫ Ω ( t ) c ( x , t ) d V = ∫ Ω ( t ) f ( x , t , c ) d V ⇒ ∫ Ω ( t ) ∂ ∂ t c ( x , t ) d V + ∫ Ω ( t ) ∇ x v ( x , t ) c ( x , t ) d V = ∫ Ω ( t ) f ( x , t , c ) d V ⇒ ∫ Ω ( t ) ∂ ∂ t c ( x , t ) + ∇ x v ( x , t ) c ( x , t ) − f ( x , t , c ) d V = 0 ⇒ ∂ ∂ t c ( x , t ) = − ∇ v ( x , t ) c ( x , t ) + f ( x , t , c ) \frac{d}{d t} \int_{\Omega(t)} c(x, t) d V=\int_{\Omega(t)} f(x, t, c) d V \\ \Rightarrow \int_{\Omega(t)} \frac{\partial}{\partial t} c(x, t) d V+\int_{\Omega(t)} \nabla_{x} v(x, t) c(x, t) d V=\int_{\Omega(t)} f(x, t, c) d V \\ \Rightarrow \int_{\Omega(t)} \frac{\partial}{\partial t} c(x, t)+\nabla_{x} v(x, t) c(x, t)-f(x, t, c) d V=0 \\ \Rightarrow \frac{\partial}{\partial t} c(x, t)=-\nabla v(x, t) c(x, t)+f(x, t, c) dtd∫Ω(t)c(x,t)dV=∫Ω(t)f(x,t,c)dV⇒∫Ω(t)∂t∂c(x,t)dV+∫Ω(t)∇xv(x,t)c(x,t)dV=∫Ω(t)f(x,t,c)dV⇒∫Ω(t)∂t∂c(x,t)+∇xv(x,t)c(x,t)−f(x,t,c)dV=0⇒∂t∂c(x,t)=−∇v(x,t)c(x,t)+f(x,t,c)
这就是高维形式的PBE了，和一维情形相同，该方程也需要补充初始条件和边界值， 初始条件必须明确规定颗粒在颗粒状态空间中的分布。 对于其中粒子全部具有相同内部状态的特定情况，我们可以使用狄拉克函数，即对于∀_0，有：
{ δ ( x − x 0 ) = 0 when x ≠ x 0 ∫ Ω x f ( x ) δ ( x − x 0 ) d V x = f ( x 0 ) e l s e \left\{\begin{array}{l} \delta\left(x-x_{0}\right)=0 \quad \text { when } x \neq x_{0} \\ \int_{\Omega_{x}} f(x) \delta\left(x-x_{0}\right) d V_{x}=f\left(x_{0}\right) \ \text else \end{array} \right. {δ(x−x0)=0 when x=x0∫Ωxf(x)δ(x−x0)dVx=f(x0) else
还有一些边界条件的讨论，和雷诺运输定理没有关系，按下不表了。
虽然不会写latex但是有很多现成的转换工具，用latex会好看很多吧。
参考文献：
https://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_transport_theorem