[图论]---[网络流]---最大权闭合子图

最大权闭合子图

闭合图的概念

闭合图建立在有向图之上，对于 G = (V, E) 选取一个点的子集 V ’ ，V ’ 的任意一点的所有能到达的点也在集合 V ’ 内，则称 V ’ 为闭合子图。
最大权闭合子图即在G的所有闭合子图中，点权和最大的。

最大权闭合子图的求法

构建流量网络，将源点S与所有权值为正的点连一条边，容量为其权值；将权值为负的点向汇点 T 连一条容量为其点权绝对值的边。
原图中的边保留，容量设为INF。
上图所构建出的网络流图如下：

结论

结论：最小割所产生的两个集合中，源点S所在集合（除去S点）是原图的最大权闭合子图。

证明

引理1：上述方法构造的网络流图中，最小割是简单割（割集的每条边都与S或T相关联）
证明：易证。

引理2：网络流图中的简单割，与原图中的闭合图存在一一对应的关系（即所有闭合图对应一个简单割，简单割也对应一个闭合图）。
证明：
(1)：如果闭合图不是简单割，那么说明有一条边容量为INF，则说明闭合图中有一条出边的终点不在闭合图中，矛盾。
(2)：因为简单割不含INF的边，所以不含有连向另一个集合（除T）的点，所以其出边的终点都在简单割内部，符合闭合图定义。

证明最小割的两个集合中，源点S所在的集合是最大权闭合子图：
记：

1. 一个简单割的容量为 C
2. 源点S所在集合为N
3. T所在集合为M

则：C = S与M中相连边的容量+N中的点与T相连边的容量
记为：C = x1+y1
记N这个闭合图的权值和为W。
则：W = N中权值为正的点的权值-N中权值为负的点权的绝对值
记：W = x2-y2
则：W+C = x1+y1+x2-y2
明显 y1 = y2，所以 W+C = x1+x2
x1为M中所有权值为正的点的权值，x2是N中权值为正的点的权值
所以 x1+x2 是所有权值为正的点权值的和（记为TOT）
所以 W = TOT-C
这就是闭合图权值和简单割容量的关系
TOT一定，要使W最大，那么C最小，此时简单割为最小割，闭合图为源点S所在集合。

例题

模板: 洛谷P3410 拍照.
同上，模板：洛谷P2762 太空飞行计划问题.
同上，模板：洛谷P4174 [NOI2006]最大获利.

这三个题目建模可以说一模一样，属于简单的最小割。下面的几道题就需要 动(diao) 点(dian) 脑(tou) 子(fa) 了。

思维: CF311E Biologist.
建模较难的最大权闭合子图: 洛谷P2805 [NOI2009]植物大战僵尸.