简谐运动公式的推导

大家都知道简谐运动的公式是Acos（wt+Φ），但是为什么是这个呢？我在这里进行一些简单的说明。

我们首先从这个简单的弹簧振子开始说起，我们先引入一个概念：回复力（也有的书上叫做恢复力）

百度百科：回复力是指指振动物体所受的总是向平衡位置的合外力。公式F=-kx。

关于回复力的公式其实我们也很好理解：比如说我这个物体本来是在平衡位置，现在向右边移动，就会受到一个向左边的力，根据胡克定律F=-k·Δx，这里呢弹簧的平衡位置是和我们的参考原点重合的，所以我们就使用x来代替Δx。

根据牛顿公式以及位移和加速度的关系，我们可以得到一个微分方程
然后我想要说明的东西就来了

• 首先我们部分物理书上面是说k/m=w²，但是这是为什么呢？其实教科书在这里省略了一个步骤，我们把Asin（wt+Φ）带进去之后，如果希望等式恒成立，那么k/m=w² .
• 然后是第二个问题：我用x=cos（wx）带进去等式也是成立的呀，但是为什么不直接使用cos（wx）呢？

1. 我们选取几个特定的状态来说明为什么还要加上A和Φ，首先我们使t=0，也就是在初始的时刻，我们会得到x=0，但是质点如果不在平衡位置怎么办呢？很显然，这种情况就没有办法得到解释，所以我们使用Φ来表示质点的初始位置，这也很好理解为什么Φ是叫初相位。
2. 那好为什么要加上A呢，我们使cos（wt+Φ）=1，也就是质点偏离平衡位置的最远距离，我们会发现x=1，发现问题了吧哈哈，谁告诉你质点偏离平衡位置最远的距离是1？所以我们要配上一个A，这也就是为什么A被称之为振幅的。
3. 当我们的质点初始位置恰好在原点（平衡位置），振幅是1，这时候Acos（wt+Φ）=cos（wt），也就是后面的公式是简谐振动的一个特例，如果再特殊一点w=1，就更简单了
4. 不知道小伙伴们有没有想过这个问题：为什么大部分教科书会选择余弦函数来描述简谐运动而不是用正弦，关于这个问题可以参考物理书上面对旋转矢量的讲解，我们会发现简谐运动变成了圆周运动上面的一个点在x轴上的投影，等等，投影？哈，你是不是想起了向量的投影公式|a||b|cosθ，现在知道为什么使用余弦函数来描述了吗
5. 当我们使用旋转矢量来描述简谐运动的时候，我相信你也会明白w的物理意义了，即旋转矢量旋转的角速度。