最短路径的Floyd与Dijkstra算法
Floyd算法和Dijkstar算法是用来获得图中两点最短路径的算法。Dijkstar算法最终能够得到一个节点到其他所有节点的最短路径，而Floyd算法最终能够找出每对点之间的最短距离。
Dijkstar算法
算法简介
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表的方式，这里均采用永久和临时标号的方式。注意该算法要求图中不存在负权回路。
算法描述 (这里描述的是从节点1开始到各点的dijkstra算法，其中Wa->b表示a->b的边的权值，d(i)即为最短路径值)
1． 置集合S={2,3,...n}, 数组d(1)=0, d(i)=W1->i(1,i之间存在边) or +无穷大(1.i之间不存在边)
2． 在S中，令d(j)=min{d(i),i属于S}，令S=S-{j}，若S为空集则算法结束，否则转3
3． 对全部i属于S,如果存在边j->i，那么置d(i)=min{d(i), d(j)+Wj->i}，转2
复杂度分析
Dijkstra 算法的时间复杂度为O(n^2)
空间复杂度取决于存储方式，邻接矩阵为O(n^2)
问题描述：给定图G，求其顶点t到其他所有点的最短路径。
算法描述：将图所有点的集合S分为两部分，V和S-V。V集合是已经得到最短路径的点的集合，在初始情况下V中只有一个顶点t，S-V是还未得到最短路径点的集合。然后，在每一次迭代过程中取得S-V集中到V集合任一点距离最短的点，将其加到V集合，从V-S集合删除。重复此过程直到S-V集合为空。
时间复杂度：
示例：
伪代码：
算法实现
输入输出格式
输入格式:
第1行:一个数n，代表有n个节点
第2-n+1行:每行n个数，代表图的邻接矩阵，没有边相连为-1
输出格式:
第1行:n-1个数，分别是1号节点到2-n号节点的最短路径
Java代码：
package com.collonn.algorithm;
import java.util.PriorityQueue;
/**
* 带权有向图的单源最短路径
* Dijkstra算法-(迪杰斯特拉)算法
*/
public class GrfDijkstra {
// 为了矩阵的输出更直观好看一些，本例中约定，路径权值取值范围为：[1,10]，权值为999表示无连通
// 并假设所有权值的和小于999
private final int MAX = 999;
// 顶点总数
private int total;
// 顶点信息
private String[] nodes;
// 顶点矩阵
private int[][] matirx;
// 源点到各顶点的距离
private int[] dis;
// 顶点是否已标记
private int[] mark;
public GrfDijkstra(int total, String[] nodes) {
this.total = total;
this.nodes = nodes;
this.matirx = new int[total][total];
this.dis = new int[total];
this.mark = new int[total];
}
private void printMatrix() {
System.out.println("--------- weighted directed matrix ---------");
System.out.println("---0---1---2---3---4---5---6---7---8---");
System.out.println("---A---B---C---D---E---F---G---H---I---");
for (int i = 0; i < this.total; i++) {
System.out.print("-" + this.nodes[i] + "|");
for (int j = 0; j < this.total; j++) {
System.out.print(String.format("%03d", this.matirx[i][j]) + "-");
}
System.out.print("\n");
}
System.out.println("--------- weighted directed matrix ---------");
}
/**
* Dijkstra算法-(迪杰斯特拉)算法之迭代实现
*
* @param s
* 源点(起点)
*/
public void dijkstra(int s) {
// 初始化
for (int i = 0; i < this.total; i++) {
// 初始化都未标记
this.mark[i] = 0;
// 给源点的直接邻接点加上初始权值
this.dis[i] = this.matirx[s][i];
}
// 将源点s加入已标记
this.mark[s] = 1;
// 顶点到自身的距离为0
this.dis[s] = 0;
// 临时最短距离
int min = -1;
// 临时最短距离的顶点
int k = -1;
this.printDis(0, "屌", "初始化");
// 除去源点s到自身的距离为0外，还要不断的进行距离修正(源点s到其它顶点(共total-1个)的最短距离)
for (int i = 1; i < this.total; i++) {
// 从当前最新的，源点到其它各顶点的距离信息数组dis[]中，找到一个没有标记过的，
// 并且距离(从源点到该某顶点)最短的顶点
min = MAX;
for (int j = 0; j < this.total; j++) {
if (this.mark[j] == 0 && this.dis[j] < min) {
min = this.dis[j];
k = j;
}
}
// 标记该顶点
this.mark[k] = 1;
/**
* 距离校正
*/
for (int j = 0; j < this.total; j++) {
if (this.mark[j] == 0 && (this.matirx[k][j] + this.dis[k]) < this.dis[j]) {
this.dis[j] = this.matirx[k][j] + this.dis[k];
}
}
this.printDis(i, this.nodes[k], "进行中");
}
}
/**
* Dijkstra算法-(迪杰斯特拉)算法之优先队列实现
*/
public void dijkstraPQ() {
// Item是PriorityQueue中元素，实现了Comparable接口，优先队列用此接口进行排序
class Item implements Comparable- {
// 节点在数组的下标
public int idx;
// 到改节点的临时最小权值和
public int weight;
public Item(int idx, int weight) {
this.idx = idx;
this.weight = weight;
}
@Override
public int compareTo(Item item) {
if (this.weight == item.weight) {
return 0;
} else if (this.weight < item.weight) {
return -1;
} else {
return 1;
}
}
}
// 值较小的元素总是在优先队列的头部，值较大的元素总是在优先队列的尾部
PriorityQueue
- pq = new PriorityQueue
- ();
// 将源点(即起点)加入到优先队列
pq.offer(new Item(0, 0));
Item itm = null;
while (!pq.isEmpty()) {
itm = pq.poll();
// 图中某节点下标
int idx = itm.idx;
// 到某节点的临时最小权值和
int weight = itm.weight;
// 如果该元素还未标记，则更新最小权值各
if (this.mark[idx] == 0) {
this.dis[idx] = weight;
}
// 找出该元素(假设A)的所有未标记的邻接点(假设B)
// 则，源点到B的距离可表示为：(源点到A的距离) + (A到B的距离)
// 将源点到B的距离加入到优先队列中
for (int i = 0; i < this.total; i++) {
if (this.mark[i] == 0) {
pq.offer(new Item(i, this.dis[idx] + this.matirx[idx][i]));
}
}
}
}
private void printDis(int i, String node, String pre) {
System.out.print("\n" + pre + "," + node + "," + i + "--->");
for (int t = 0; t < this.dis.length; t++) {
System.out.print(t + ",");
}
System.out.print("\n" + pre + i + "--->");
for (int t : this.dis) {
System.out.print(t + ",");
}
System.out.print("\n");
}
// 初始化图数据
// 0---1---2---3---4---5---6---7---8---
// A---B---C---D---E---F---G---H---I---
private void initGrf() {
// 初始化矩阵为最大值(各节点都不连通)
for (int i = 0; i < this.total; i++) {
for (int j = 0; j < this.total; j++) {
if (i == j) {
this.matirx[i][j] = 0;
} else {
this.matirx[i][j] = MAX;
}
}
}
// 手动设置有向路径
// A->B, A->E, A->D
this.matirx[0][1] = 2;
this.matirx[0][4] = 3;
this.matirx[0][3] = 1;
// B->C
this.matirx[1][2] = 2;
// C->F
this.matirx[2][5] = 1;
// D->E, D->G
this.matirx[3][4] = 5;
this.matirx[3][6] = 2;
// E->F, E->H
this.matirx[4][5] = 6;
this.matirx[4][7] = 1;
// F->I
this.matirx[5][8] = 3;
// G->H
this.matirx[6][7] = 4;
// H->F, H->I
this.matirx[7][5] = 1;
this.matirx[7][8] = 2;
}
public static void main(String[] args) {
String[] nodes = new String[] { "A", "B", "C", "D", "E", "F", "G", "H", "I" };
GrfDijkstra grf = new GrfDijkstra(nodes.length, nodes);
grf.initGrf();
grf.printMatrix();
System.out.println();
System.out.println("------ Dijkstra算法-(迪杰斯特拉)算法之迭代开始 ------");
grf.dijkstra(0);
grf.printDis(0, "屌", "最终值");
System.out.print("\n");
System.out.println("------ Dijkstra算法-(迪杰斯特拉)算法之迭代结束 ------");
System.out.println();
System.out.println("------ Dijkstra算法-(迪杰斯特拉)算法之优先队列开始 ------");
grf.dijkstraPQ();
grf.printDis(0, "屌", "最终值");
System.out.print("\n");
System.out.println("------ Dijkstra算法-(迪杰斯特拉)算法之优先队列结束 ------");
}
}
Floyd算法
问题描述：给定图G，得到每个点对的最短距离。
算法描述：Floyd算法是一个动态规划算法，最初矩阵A0是图的邻接矩阵，AK矩阵表示从i到j的最短路径，这些路径不能能通过大于K的节点，最终的矩阵AN就是想要得到的矩阵了。那么AK矩阵与A(K+1)矩阵有什么关系呢？关系就是A(K+1)[i,j]=min(A(K)[i,j],A(K)[i,k]+A(K)[k,j]),也就是看加上K点后，是不是能找到更短的距离。
时间复杂度：O(|V|^3) 顶点数的三次方。
示例：一上面的图为例子，下面展示了矩阵系列的建立过程：
Java代码：
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