【图论之最短路问题】简单易懂入门篇：Bellman-Ford、Dijkstra和Floyd算法

最短路：从一个点到另一个点的最短距离（边权和最小）
经典的最短路问题大概这几种算法：

一、前缀知识

• 图的基本概念、有向图无向图、DAG、图的表示（邻接矩阵、邻接表、链式前向星）
• 单源最短路问题：从一个点出发到其他能到达的任意点的最短路径

二、Bellman-Ford算法

• 适用范围：没有负圈存在的图寻找单源最短路，可以用这个算法来检验是否有负圈
• 算法复杂度：O（VE） V为点数，E为边数
• 原理：这个算法给我一种瞎搞的感觉。。。
  大致分为几个步骤：
  1.开一个数组dist[V]用于存各个点到出发点的最短距离，赋初值INF（出发点为0）
  2.每一次都循坏一遍所有的边，若dist[终点]>dist[起点]+边权，则更新dist[终点]，这样可以保证每一次的更新都能使dist[终点]变小，上一次循环的结果又可以保证这一次这个点已经到达过了
  3.进行多次循环，直到不再更新，说明所有的dist[]都已经被更新到最短
• 单看原理比较难以理解，以下面的图举个例子，大致模拟一下算法的流程
  求编号为1的点到所有点的最短路径
  
  第一步：初始化dist[v]数组，所有的dist初始化为INF（dist[1]为0）
  (一般INF取0x3f3f3f3f)
  第二步：不断循环更新dist数组
  
  
  然后我们就发现无法再更新了，这个时候跳出循环就好啦~
  然后就完美地得到了初始点到每个点的最短路径长度了，如果是INF则说明无法到达
• 伪代码（这里的edge仅仅用一个结构体把每条边存下来而已）

struct edge{int from,to,cost};
edge edg[maxe];
void bellman()
{
  /*V为点数，E为边数，start为出发点*/
  fill(dist,dist+maxv，INF);
  dist[start]=0;
  while(1)
  {
    bool if_update=false;//记录此次循环是否更新
    for(int i=0;i<E;i++)
    {
      edge e=edg[i];
      if(dist[e.from]!=INF&&dist[e.from]+e.cost<dist[e.to])//若该边的起始点已经被路过且满足dist[起始]+cost
      {
        if_update=true;
        dist[e.to]=dist[e.from]+e.cost;
      }
    }
    if(!up_date) break;
  }
}

• bellman算法虽然不能用来判断含有负圈的图（？：试想一下如果有负圈，那岂不是转了一圈又一圈停不下来了），但是可以通过这个性质来判断图中有没有负圈：
  我们假设一种最坏情况，每一次的循环只更新一个值的时候（如图）
  
  每次循环的时候只更新一个dist，这样整个过程的循环只进行V-1次，所以，只要不存在负圈，整个过程最多进行V-1次循环，我们可以在while里面加个计数器，这样就可以用来判断是否含有负圈了
• 例题传送门：虫洞问题

三、Dijkstra算法

• Bellman算法感觉有点浪费时间，就像上面最坏情况那样，总共五个点，需要进行四次循环，每次循环里面都需要遍历一遍所有的边。。。但每次循环实际上却只更新了一次，所以，在Bellman算法的基础上进行了一下优化，就有了Dijkstra算法。然鹅在Dijkstra被优化之前他们时间复杂度是一样的，只不过Dijkstra算法看起来没有那么暴力了。。。。
• 适用情况：没有负边存在
• 时间复杂度O（V²）
• 原理：在Bellman算法的基础上，每一次更新的时候都会找一下当前情况下没有被用过并且dist最小的点，对于当前情况下用这个dist来更新其他的dist（这真的有一种dp的感觉，而且满足了无后效性）
  还是上面那个例子，用Dijkstra算法循环的过程如图：
  
  
  
  然后后面就是用dist[4]和dist[5]更新了，但是很明显他们没有边可以走下去了，同一个例子可以发现，Dijkstra算法每个点只用了一次，看起来比Bellman算法要少跑一点然鹅在堆优化之前时间复杂度并没有什么区别。。。
• 伪代码（用邻接表表示图）

struct edge{int to,cost};
vector<edge> e[maxv];
bool vis[maxv];//vis数组用于记录每个点是否被用来做过一次循环
void Dijkstra()
{
  /*V为点数，E为边数，start为出发点*/
  fill(dist,dist+V，INF);
  fill(vis,vis+V,false);
  dist[start]=0;
  while(1)
  {
    int v=-1;
    for(int u=0;u<V;u++)
      if(!vis[u]&&(v==-1||dist[u]<dist[v])) v=u;//找到没有被用过并且最小的dist并记录下来
    if(v==-1) break;  //所有点都被遍历一遍以后就跳出循环
    vis[v]=true;
    for(int i=0;i<e[v].size();i++)
     dist[e[v][i].to]=min(dist[e[v]+e[v][i].cost, dist[e[v][i].to]);//每次都更新一下dist[v]所能到达的点
  }
}

• 但是这个算法不能用在存在负边的情况下，试想一下，如果存在一条负边，使得经过了这条边dist就会减小，那dp的无后效性原则就不满足了，Dijkstra算法本来就是在没有负边的情况下可以保证下一次的dist会越来越大而不影响前面已经得到的结果，无负边的条件被破坏掉了，相当于Dijkstra的前提也被破坏掉了
• 例题传送门：最短路模板题（无需优化）

四、Dijkstra算法的堆优化

• Dijkstra算法之所以最后的时间复杂度跟Bellman差不多，主要是找到最小边的这个过程的遍历使得时间复杂度变大，所以我们只需要对找到最小值这个过程进行优化，整个算法的时间复杂度就会被优化下来，这里我们用一下c++里的set容器来实现logn的查找,当然用priority_queue也可
• 时间复杂度O(ElogV)
• 先强推一下链式前向星，具体就不展开讲了，代码大致是这样子的，想一想应该就能想通，我把代码挂上来

struct edge{
   int to,w,next;
}e[maxe];
int cnt=0;
int h[maxv];
void add(int i,int j,int w)//加边操作
{
    e[++cnt].to=j;
    e[cnt].w=w;
    e[cnt].next=h[i];
    h[i]=cnt;
}

堆优化代码

void dijkstra()
{
    set<P>heap;
    fill(dist,dist+1+n,INF);
    dist[start]=0;
    heap.insert(P(0,u));
    while(!heap.empty())
    {
        int d=heap.begin()->first;
        int v=heap.begin()->second;
        heap.erase(heap.begin());
        if(d>dist[v]) continue;
        for(int i=h[v];i;i=e[i].next)
        {
            edge edg=e[i];
            if(dist[edg.to]>dist[v]+edg.w)
            {
                dist[edg.to]=dist[v]+edg.w;
                heap.insert(P(dist[edg.to],edg.to));
            }
        }
    }
}

• 例题传送门：最短路模板题

五、Floyd算法

• 时间复杂度：O（V³）
• 该算法可以在O（V³）的时间复杂度下时间找到所有两点间的最短距离，而且实现起来较为简单，并且可以用于存在负边的情况
• 因为代码比较简单而且用dp的思路就很容易理解了，所以我就不详细展开讲了，直接上代码（邻接矩阵存图）

int dist[maxv][maxv];//数组dist用于存边上的权值,不存在为INF，dist[i][i]=0
void floyd()
{
  for(int k=0;k<V;k++)//V为点数
   for(int i=0;i<V;i++)
    for(int j=0;j<V;j++) 
     dist[i][j]=min(dist[i][j],dist[i][k]+dist[k][j]);
}

例题传送门：畅通工程