线段树或树状数组求逆序数（附例题）

学习了博主：MyZee    , shengweison 的文章

                                                       线段树或树状数组求逆序数

假设给你一个序列 6 1 2 7 3 4 8 5，  首先我们先手算逆序数， 设逆序数为 N;

6的前面没有比他大的数 N +=0

1的前面有一个比他大的数 N+=1

2的前面有一个比他大的数 N+=1

7的前面没有比他大的数 N+=0

... 最后得到 N = 0 + 1 + 1 + 0 + 2 + 2 + 0 + 3 = 9

其实我们可用用线段树，或者树状数组模拟这个过程。 又因为线段树和树状数组的效率较高，所以可行

假设我们将 序列 6 1 2 7 3 4 8 5 存入数组num【】 中， num【1】=6 ， num【2】=1...

那么每次，我们可以将 num【i】 插入到 线段树或者树状数组中，并赋值为 1，

 我们求和sum，sum等于线段树中 1 到 num【i】的和 ， 那么这个 sum 表示的值就是当前比num【i】小的数量（包括它本身）；

而当前一共有 i 个数 ， 所以 当前 比num【i】大的数量就是 i - sum；

所以 我们统计所有的 i - sum ， 它们的和就是逆序数。 模拟了上面手算的过程。

【线段树的关键代码】

int count=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
       Insert(1,num[i],num[i],1); //插入 num[i],并赋值1
       count+=(i-(Query(1,1,num[i])));
}
 
   
 
   
【树状数组的关键代码】
 
   
 
   
long long  ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
	add(N[i].id);
	ans+=(i-Sum(N[i].id));
}
 
   
 
   
 
   
当然，这里查询的数 的 id 都是默认从 1 到 N 的，如果 题目要求输入的数超过这个范围，就需要用到离散化，
 
   
这个在后面的题目会介绍到。
 
   

 
   
【这里先给一个求1~n的逆序数】
 
   
 
   
//线段树 求逆序数
#include 
#include 
#include 
#define L(a) a<<1
#define R(a) (a<<1)|1
const int maxn = 51000;
int ans[maxn];
struct node{
	int num,l,r;
}tree[maxn<<2];
int n;
void Build(int m,int l, int r){
	tree[m].l=l;
	tree[m].r=r;
	if(tree[m].l==tree[m].r){
		tree[m].num=0;
		return ;
	}
	int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
	Build(L(m),l,mid);
	Build(R(m),mid+1,r); //并不要回溯， 建立空树
}
void Insert(int m,int l,int r,int x){
	if(tree[m].l==l&&tree[m].r==r){
		tree[m].num+=x; return ;
	}
	int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
	if(r<=mid)
		Insert(L(m),l,r,x);
	else if(l>mid)
		Insert(R(m),l,r,x);
	else{
		Insert(L(m),l,mid,x);
		Insert(R(m),mid+1,r,x);
	}
	tree[m].num=tree[L(m)].num+tree[R(m)].num;
}
int Query(int m,int l,int r){
	if(tree[m].l==l&&tree[m].r==r)
		return tree[m].num;
	int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
	if(r<=mid)
		return Query(L(m),l,r);
	if(l>mid)
		return Query(R(m),l,r);
	return Query(L(m),l,mid)+Query(R(m),mid+1,r);
}
int main(){
	int a,n,i,t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		int k=0;
		scanf("%d",&n);
		memset(tree,0,sizeof(tree));
		Build(1,1,n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&ans[i]);
		}			
		for(int i=1;i<=n;i++){
			Insert(1,ans[i],ans[i],1);// 每个位置插入1
			k+=(i - Query(1,1,ans[i]));
		}
		printf("%d\n",k);
	}
	return 0;
}

 
   
 HDU 1394求多个逆序数中的最小值 
   
 
   
 
   
#include 
#include 
#include 
#define L(a) a<<1
#define R(a) a<<1|1
using namespace std;
int n;
const int maxn = 5005;
int num[maxn];
struct node{
    int l,r,sum;
}tree[maxn<<2];
void Build(int m,int l,int r){
    tree[m].l=l; tree[m].r=r;
    if(tree[m].l==tree[m].r){ //如果当前节点的左右节点相同，即叶子节点
        tree[m].sum=0;
        return ;
    }
    int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
    Build(L(m),l,mid);
    Build(R(m),mid+1,r); 
}
void Insert(int m,int l,int r,int x){
    if(tree[m].l==l&&tree[m].r==r){
        tree[m].sum+=x;
        return ;
    }
    int mid = (tree[m].l+tree[m].r)>>1;
    if(mid>=r) //这里是大于等于
        Insert(L(m),l,r,x);
    else if(mid>1;
    //这里和 Insert 一样
    if(mid>=r)
        return Query(L(m),l,r);
    if(mid
 
   
 NYOJ 117 求逆序数 
   
 
   
这个需要用到离散化，
 
   
建立一个结构体包含val和id， val就是输入的数，id表示输入的顺序。然后按照val从小到大排序，如果val相等，那么就按照id排序。
 
   
如果没有逆序的话，肯定id是跟i（表示拍好后的顺序）一直一样的，如果有逆序数，那么有的i和id是不一样的。所以，利用树状数组的特性，我们可以简单的算出逆序数的个数。
 
   
如果还是不明白的话举个例子。（输入4个数）
 
   
输入：9 -1 18 5
 
   
输出 3.
 
   
输入之后对应的结构体就会变成这样
 
   
val：9 -1 18 5
 
   
id：  1  2  3  4
 
   
排好序之后就变成了
 
   
val ：  -1 5 9 18
 
   
id：      2 4  1  3
 
   
2 4 1 3 的逆序数 也是3
 
   
之后再利用树状数组的特性就可以解决问题了；
 
   

 
   
因为数字可能有重复， 所以添加操作不再单纯的置为1 ，而是 ++；
 
   
【源代码】
 
   
 
   
 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int n;
const int maxn = 1000005;
struct node{
	int val,id;
}N[maxn];
int c[maxn];
int cmp(const node &a,const node& b ){
	if(a.val==b.val)
		return a.id0){
		ans+=c[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return ans;
}
int main(){
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&N[i].val);
			N[i].id=i;
		}
		sort(N+1,N+n+1,cmp);//从 1 - n 排序 
		memset(c,0,sizeof(c)); //不要忘记初始化
		long long  ans=0; //用 int  会爆掉
		for(int i=1;i<=n;i++){
			add(N[i].id);
			ans+=(i-Sum(N[i].id));
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}        
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   

 
   

 
   

 
   

 
  

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