概率相关实际问题汇总及解析

目录

1、圆上任意三点组成锐角三角形的概率?

2.  三个鸭子在圆形内游泳,落在同一个半圆内的概率?

3、 四个鸭子在圆形内游泳,落在同一个半圆的概率?

4、 n个骰子扔一下,点数加起来等于m的概率?

5、扔硬币,正面次数大于反面的概率?

6、抛硬币,抛多少次第一次出现连续两次正面,期望?

7、一副扑克牌54张,给3个人发牌,把大小王发到了同一个人的概率?

8、最大值的概率分布函数?

9、有n个人,m个坏人。每次检查一个人无论是不是坏人都会导致这个人死亡。那么查到第一个坏人的死掉好人的期望是多少?

10、某大公司有这么一个规定:只要有一个员工过生日,当天所有员工全部放假一天。但在其余时候,所有员工都没有假期,必须正常上班。这个公司需要雇用多少员工,才能让公司一年内所有员工的总工作时间期望值最大?


1、圆上任意三点组成锐角三角形的概率?

首先,圆上前两点A,B,与圆心的连线必然构成了一个夹角α,此夹角α是一个[0,180]度数之间的均匀分布。

概率相关实际问题汇总及解析_第1张图片

如果想要构成锐角三角形,第三个点C必须落在α的对角β所对应的弧上。

α与β一样,均为[0,180]度数之间的均匀分布,所以概率是0.25

重积分的视角考虑问题

概率相关实际问题汇总及解析_第2张图片

α角在0-π之间均匀分布,β在0-2π之间均匀分布,但是必须落到0-α之间才能实现构成锐角三角形。

2.  三个鸭子在圆形内游泳,落在同一个半圆内的概率?

两个鸭子A,B,到圆心的夹角是0-180度均匀分布,另一个必须落到180-均匀分布的概率之外,也就是下图红色部分外,才不是同一个半圆。因此答案为0.75

概率相关实际问题汇总及解析_第3张图片

 

重积分的视角考虑问题

概率相关实际问题汇总及解析_第4张图片

α角在0-π之间均匀分布,β在0-2π之间均匀分布,但是必须落到α的对角之外,即[0,2π-α]之间才能实现构成锐角三角形。

3、 四个鸭子在圆形内游泳,落在同一个半圆的概率?

N只鸭子的概率是 N×(2^N),4只鸭子概率是0.5

概率相关实际问题汇总及解析_第5张图片

 

略难,重积分相对容易理解一些(暂时看不太懂,需要花时间研究下)。

概率相关实际问题汇总及解析_第6张图片

 

4、 n个骰子扔一下,点数加起来等于m的概率?

n=m或者m=6n的时候,1/6^n

其他情况的时候分情况讨论。

第一问,掷三个骰子,掷出来的三个值之和为10的概率。可以列举出所有情况算出。

第二问,掷四个骰子,掷出来的四值之和概率最大的是哪一个。14。

5、扔硬币,正面次数大于反面的概率?

奇数次,则只有两种情况,大于或者小于,结果是0.5

偶数次,投了n次,共有2^n种情况,则为:

0.5*(总情况数-正反相等情况数)/总情况数

概率相关实际问题汇总及解析_第7张图片

6、抛硬币,抛多少次第一次出现连续两次正面,期望?

概率是四分之一,期望就是4次? 抛需要两次,就是6次?

7、一副扑克牌54张,给3个人发牌,把大小王发到了同一个人的概率?

三分之一。必然发给其中一个人大王,则小王发给三个人的概率均等。所以发给这个人小王的概率是1/3

8、最大值的概率分布函数?

https://www.jianshu.com/p/0cfc3204af77

注意概念,概率密度函数与概率分布函数。

概率密度函数与概率分布函数的区别。

  • max(x)=F(x)^n
  • min(x)=1-(1-F(x))^n

注意F(x)是概率分布函数,不是概率密度函数

9、有n个人,m个坏人。每次检查一个人无论是不是坏人都会导致这个人死亡。那么查到第一个坏人的死掉好人的期望是多少?

概率相关实际问题汇总及解析_第8张图片

把E(n,m)定义为,总数n个人,m个坏人,抽到第一个坏人之前死掉的好人的人数。

动态规划,如果抽中是坏人,则概率是m/n,死掉的好人数是0. 如果抽中好人,则概率是(n-m)/n, 期望就是死掉的好人数是 E(n-1,m)+1

 

10、某大公司有这么一个规定:只要有一个员工过生日,当天所有员工全部放假一天。但在其余时候,所有员工都没有假期,必须正常上班。这个公司需要雇用多少员工,才能让公司一年内所有员工的总工作时间期望值最大?

假设一年恒定365天,每个员工的生日都概率均等地分布在这365天里。

对E求导,得到n约等于365。

 

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