Bellman-Ford 算法 和 动态规划

Floyd算法：

状态：

d[k][i][j]定义：“只能使用第1号到第k号点作为中间媒介时，点i到点j之间的最短路径长度。”

动态转移方程：

$d[k][i][j]=min(d[k-1][i][j],d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j])（k,i,j\in [1,n]）$

Bellman-Ford 算法：

状态：

d[k][u]定义：从源点v出发最多经过不构成负权值回路的k条边到达终点u的最短路径的长度

动态转移方程：

$dist[k][u]=min(dist[k-1][u],min(dist[k-1][j]+Edge[j][u])),j=0,1,...,n-1；j!=u$

从上面可以看出这两种算法，对于子问题考虑前者考虑的是基于点的中转，后者考虑是基于边的中转，基于边的中转需要考虑不形成回路，求最小的话，非负数情况下，肯定是没有回路的，存在负权回路，就没有最小值，需要检测是否有负权回路。

Bellman-Ford 算法基于动态规划的原始实现：

#%%
# dist[k][u] = min{ dist[k-1][u] ,min{dist[k-1][j]+Edge[j][u]} },j = 0,1,...,n-1；j!=u

import numpy as np
def Bellman_Ford_original(graph,start):
    vertex_num = len(graph)
    edge_num_ = vertex_num-1
    list = np.full((edge_num_+1,vertex_num+1),np.inf)
#    for i in range(1,vertex_num+1):
#        list[1,i] = graph[start,i-1]
    list[:,start+1] =0
    
    for k in range(1,edge_num_+1):
        for u in range(1,vertex_num+1):
            result = list[k-1,u]
            for j in range(1,vertex_num+1):
                if  graph[j-1,u-1]>0 and graph[j-1,u-1]<10000 and result > list[k-1,j] + graph[j-1,u-1]:
                    result = list[k-1,j] + graph[j-1,u-1]
            list[k,u] =result                     
    return list[k,1:]
            

使用滚动数组加入空间优化：list[k-1,u]，list[k-1,j]，假如使用一维数组的话，list[k-1,u]是未更新的主句没问题，list[k-1,j]就不好说了，既有可能是更新过的数据，也有可能是未更新的数据，理论上应该不能用滚动数组优化，但是：只要数据可以被更新，就代表v到u的距离可以边更小，是不影响整体数据向更小方向推进的。

使用一维数组优化版本，加入了追踪解实现：

def Bellman_Ford(graph,start):
    vertex_num = len(graph)
    edge_num_ = vertex_num-1
    list = np.full((vertex_num+1),np.inf)
    list[start+1] = 0
    
    path =[-1] * vertex_num    
    for i in range(vertex_num):
        if graph[start,i] < 10000:
            path[i] = start    
    path[start] = None
    
    
#    for i in range(1,vertex_num+1):
#        list[i] = graph[start,i-1]
                    

    
    for k in range(1,edge_num_+1):
        flag = True
        for u in range(1,vertex_num+1):
            for j in range(1,vertex_num+1):
                w = graph[j-1,u-1]
                if w>0 and w <10000 and list[u] > list[j] + w :
                    list[u] = list[j] + w
                    path[u-1] = j-1
                    flag = False
         # 提前退出，并检查是否有负回路              
        if flag == True:
            for u in range(1,vertex_num+1):
                for j in range(1,vertex_num+1):
                    if list[u] > list[j] + graph[j-1,u-1] :
                        print "there is a - cycle"
                        break
            break

        
    return list[1:],path

运行结果：

graph = np.full((7,7),np.inf)
graph[0,:3] = [0,-1,2]
graph[1,:4] = [-1,0,3,4]
graph[2,:5] = [2,3,0,5,6]
graph[3,1:6] = [4,5,0,7,8]
graph[4,2:6] = [6,7,0,9]
graph[5,3:7] = [8,9,0,10]
graph[6,5:7] = [10,0]

print Bellman_Ford_original(graph,6)
value,path = Bellman_Ford(graph,6)
print value
print path


[25. 22. 23. 18. 19. 10.  0.]
there is a - cycle
[25. 22. 23. 18. 19. 10.  0.]
[2, 3, 3, 5, 5, 6, None]

另外一种理解，从松弛的角度：

第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge(u,v)），判断是否存在这样情况：
d(v)>d(u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则应为无法收敛而导致不能求出最短路径。