矩阵-斐波那契数列

利用矩阵来求解斐波那契数列的有关问题是ACM题中一个比较常见的题型。例：NYOJ 148(斐波那契数列2)。

有关斐波那契树列的规律详见这里。

(1)、对于n>1，都有f(n)与f(n-1)互质。

(2)、f(n)=f(i)*f(n-i-1)+f(i+1)*f(n-i)。

现在说说怎么利用矩阵来求解斐波那契数列。

我们可以先保存b=f(1),a=f(0)，然后每次设： b'=a+b a'=b。后利用a'和b'一直循环即可。同时我们可以将b a看做一个向量[b a]，前面的操作就可以乘以矩阵：

|1 1|*[b a]=[a+b b]。

|1 0|

也就是说，如果我们要求第100个fibonacci数，只需要将矩阵[1 0]乘上 
1 1 
1 0 
的一百次方，再取出第二项即可。就像题目中的描述一样：设F₀ = 0，F₁ = 1，那么有：

.

这个矩阵的n次方的形式是：

F(n+1)  F(n)

F(n)   F(n-1)，

现在的问题是如何求出这个矩阵的n次方是多少？

可以使用的方法有两种：

(1)、可以利用二分的思想：假设要求矩阵的N次方为A(N)，设i=N/2若N%2==1，则 A(N)=A(i)*A(i)*A(1)若N%2==0，则A(N)=A(i)*A(i)。

(2)、利用二进制的思想：将N拆为二进制数，譬如13=(1101)2那么 A^13= A^8 * A^4 * A^1。这个在求快速幂模的时候经常用。具体见代码，可做模板，写的比较的乱：

#include
#include
using namespace std;
const int MAX=10;
#define __int64 long long
#define Bit(n) 1<>num,num!=-1)
    {   M.Unit();
        cout<

在这里顺便贴下斐波那契数列的通项公式：

 我们可以利用这个公式来简化很多运算：例HDU 2855，意思是输入n,m，求%m的结果。

具体推导过程如下：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 上个题目中求F(n)%m的值，这个是求F(2n)%m的值，你懂的~代码就不多写了~

调试了几次10^9这个数就是过不了，矩阵快速幂的模板改下就过了~具体改成下面的：

int Matrix::Pow(int n) //矩阵快速幂 
{   Matrix temp(2,2); 
    temp.Init(); 
    while(n) //利用二进制的思想求解 
    {   if(n&1) M=M*temp; 
        temp=temp*temp;     
        n>>=1;
    }
    return M.Result();    
}

例题2：NYOJ 507(斐波那契数列)，只要写出那个递推关系式即可~其余的直接套模板：

S(n)=f(0)²+f(1)²+f(2)²+...+f(n)²；

S(n-1)=f(0)²+f(1)²+f(2)²+...+f(n-1)²。 

所以：S(n)-S(n-1)=f(n)²=x²f(n-1)²+y²f(n-2)²+2xyf(n-1)f(n-2)。

所以可以构造下面的矩阵：

这个时候就简单了，具体见代码：

#include
#include
#include
using namespace std;
const int MAX=10;
#define __int64 long long 
#define CLR(arr,val) memset(arr,val,sizeof(arr))
int x,y,num;
class Matrix{
public:
    Matrix(int r,int c):row(r),col(c){}
    void Init()  
    {   CLR(map,0);
        x%=10007,y%=10007;//一定要把这个条件加上~~
        map[0][0]=map[0][1]=map[2][1]=1; 
        map[1][1]=x*x%10007;
        map[1][2]=y*y%10007;
        map[1][3]=(2*x*y)%10007;
        map[3][1]=x%10007,map[3][3]=y%10007; 
    }
    void Unit() //初始化为单位矩阵 
    {   CLR(map,0);
        for(int i=0;i>=1;
    }
    Start=M*Start;
    return Start.Result();    
}
ostream& operator<<(ostream &cout,const Matrix& M)
{   for(int i=0;i