「算法」费马小定理 欧拉函数 裴蜀定理 曹冲养猪

费马小定理

 费马小定理$(Ferma{t}^{\prime }slittletheorem)$是数论中的一个重要定理，在1636年提出。如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有$a$ $\hat{}$ $(p-1)\equiv 1(mod$ $p)$
  $5^3\equiv 1(mod$ $2)$
  $2^6\equiv 1(mod$ $7)$

欧拉函数

 在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目
 此函数以其首名研究者欧拉命名$(Eule{r}^{\prime }stotientfunction)$，它又称为$Eule{r}^{\prime }stotientfunction$、$\phi$函数、欧拉商数等
 然后就有$a$^{$\phi (n)$}$\equiv 1(mod$ $p)$

裴蜀定理

 对于任意整数$a$，$b$，存在一对整数$x$，$y$，满足$ax+by=gcd(a，b)$

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if (b == 0) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int d = exgcd(b, a % b, x, y);
	int z = x;
	x = y;
	y = z - y * (a / b);
	return d;
}

曹冲养猪

题目描述

自从曹冲搞定了大象以后，曹操就开始琢磨让儿子干些事业，于是派他到中原养猪场养猪，可是曹冲很不高兴，于是在工作中马马虎虎，有一次曹操想知道母猪的数量，于是曹冲想狠狠耍曹操一把。

举个例子，假如有 16 头母猪，如果建了 3 个猪圈，剩下 1 头猪就没有地方安家了；如果建造了 5 个猪圈，但是仍然有 1 头猪没有地方去；如果建造了 7 个猪圈，还有 2 头没有地方去。你作为曹总的私人秘书理所当然要将准确的猪数报给曹总，你该怎么办？

输入格式

第一行包含一个整数 n ，表示建立猪圈的次数；

接下来 n 行，每行两个整数 a_i, b_i ，表示建立了 a_i 个猪圈，有 b_i 头猪没有去处。你可以假定 a_i,a_j 互质。

输出格式

输出仅包含一个正整数，即为曹冲至少养猪的数目。

输入

3
3 1
5 1
7 2

输出

16

分析

这道题有一种朴素算法

1. 样例1
   输入
   2 3 1 5 2
   $\%3=1:1、4$、$7$、$10...$
   $\%5=2:2$、$7$、$12...$
   输出
   $7$

2. 样例2
   输入
   3 3 1 5 2 7 3
   $\%3=1:1、4$、$7$、$10...$
   $\%5=2:2$、$7$、$12...$

   $\%3=1且\%5=2:7、22、37$、$52$、$67...$
   $\%7=3:3、10、17、24、31、38、45$、$52$、$59...$
   输出
   $52$

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int M = 1e3 + 5;
int a, b, x, y;
int n;

queue <int > m1;	//用两个队列来枚举
queue <int > m2;

void Calculation() {
	m1.push(b), m2.push(y);
	while (m1.back() != m2.back()) {
		int p = m1.back(), q = m2.back();
		if (p > q) {
			m2.push((p - q + x - 1) / x * x + q);
		}
		if (p < q) {
			m1.push((q - p + a - 1) / a * a + p);
		}
	}
	b = m1.back(), a = a * x;
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	scanf("%d %d", &a, &b);
	for(int i = 1; i < n; i ++) {
		scanf("%d %d", &x, &y);
		Calculation();
	}
	printf("%d", b);
	return 0;
}

很不幸的是，我TLE了

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中国剩余定理

#include 
#include 
using namespace std;

const int M = 15;
long long a[M], b[M];
long long x, y, m, k;
long long ans, mod = 1;
int n;

long long exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y) {
	if (b == 0) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int d = exgcd(b, a % b, x, y);
	int z = x;
	x = y;
	y = z - y * (a / b);
	return d;
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		scanf("%d %d", &a[i], &b[i]);
		mod *= a[i];
	}
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		m = mod / a[i];
		exgcd(m, a[i], x, y);
		k = (a[i] + x % a[i]) % a[i];
		ans = (ans + b[i] * k * m) % mod;
	}
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}