HDU 1024 Max Sum Plus Plus（最大M段和）

Max Sum Plus Plus

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)

Total Submission(s): 26474    Accepted Submission(s): 9201

Problem Description

Now I think you have got an AC in Ignatius.L's "Max Sum" problem. To be a brave ACMer, we always challenge ourselves to more difficult problems. Now you are faced with a more difficult problem.

Given a consecutive number sequence S ₁, S ₂, S ₃, S ₄ ... S _x, ... S _n (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ S _x ≤ 32767). We define a function sum(i, j) = S _i + ... + S _j (1 ≤ i ≤ j ≤ n).

Now given an integer m (m > 0), your task is to find m pairs of i and j which make sum(i ₁, j ₁) + sum(i ₂, j ₂) + sum(i ₃, j ₃) + ... + sum(i _m, j _m) maximal (i _x ≤ i _y ≤ j _x or i _x ≤ j _y ≤ j _x is not allowed).

But I`m lazy, I don't want to write a special-judge module, so you don't have to output m pairs of i and j, just output the maximal summation of sum(i _x, j _x)(1 ≤ x ≤ m) instead. ^_^

 

Input

Each test case will begin with two integers m and n, followed by n integers S ₁, S ₂, S ₃ ... S _n.
Process to the end of file.

 

Output

Output the maximal summation described above in one line.

 

Sample Input

1 3 1 2 3 2 6 -1 4 -2 3 -2 3

 

Sample Output

6 8

Hint

Huge input, scanf and dynamic programming is recommended.

 

Author

JGShining（极光炫影）

 

思路：

dp[i][j]表示分成i段前j个元素的最大和，同时这个最大和是由a[j]结尾的。

状态为i、j，值为dp[i][j]。

若a[j]与前面一段直接相连成为共同的一段，那么前面应该已经有了i段：

dp[i][j] = {dp[i][j-1] + a[j]}

若a[j]单独成一段，那么前面应该是已经有了i-1段：

dp[i][j] = {dp[i-1][k] + a[j]} (i-1<=k

所以状态转移方程为

dp[i][j] = {max(dp[i][j-1], dp[i-1][k]) + a[j]} (i-1<=j

有了状态转移方程，剩下的就是优化了，把状态转移表画出来。

首先对一些特殊情况做一些处理，定义出i，j的边界条件：

    1、第i段可以以任何一个数字结尾；

    2、某段以a[j]结尾的时候，表示前j个元素以j结尾的最大和，也就是说，最多只能分成j段(现在一共只有j个元素，最多的情况下就是每个数字单独成一段，那么刚好是j段)，所以无论在什么情况下总有i<=j。

这里以题目中的 -1 4 -2 3 -2 3为例，状态转移表填写过程如下：

填写对角线元素的方法是，dp[i][j] = {dp[i-1][j-1] + a[j]} (i=j)

然后根据状态转移方程接着填

注意到，这里填每一行的时候，其状态仅与上一行有关。也就是说，仅仅依靠第i-1行就能够得到完整的第i行，同样，仅仅根据第i行就能填出i+1行，可以用滚动数组来优化空间，下面代码就用一个dp[2][M]大小的数组来完成整个表的填写。

 

#include 
#include 
#include 
#define M 1000010
#define INF 9999999

using namespace std;
int a[M];
int dp[2][M];

int Max(int a, int b)
{
    return a>b?a:b;
}

int main()
{
    int m, n;
    while (scanf("%d %d", &m, &n)!=EOF)
    {
        for (int i=1; i<=n; i++)
        {
            scanf("%d", &a[i]);
            dp[0][i] = dp[1][i] = 0;
        }
        
        dp[0][0] = dp[1][0] = a[0] = 0;

        int t = 1;
        for (int i=1; i<=m; i++)
        {
            dp[t][i] = dp[1-t][i-1] + a[i];
            int maxn = dp[1-t][i-1];
            for (int j=i+1; j<=n-m+i; j++)
            {
                maxn = Max(maxn, dp[1-t][j-1]);
                dp[t][j] = Max(maxn, dp[t][j-1]) + a[j];
            }
            t = 1-t;
        } 
        t = 1-t;

        int ans = -1*INF;
        for (int i=m; i<=n; i++)
        {
            if (dp[t][i]>ans)
                ans = dp[t][i];
        }    
        
        cout << ans << endl;
    }    
    return 0;
}