HDU 1024 Max Sum Plus Plus(经典DP)

HDU 1024 Max Sum Plus Plus(经典DP)

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Problem Description

    Now I think you have got an AC in Ignatius.L’s “Max Sum” problem. To be a brave ACMer, we always challenge ourselves to more difficult problems. Now you are faced with a more difficult problem.

    Given a consecutive number sequence
     S1,S2,S3,S4...Sx,...Sn (1≤x≤n≤1,000,000,−32768≤Sx≤32767) .
    We define a function sum(i,j)=Si+...+Sj(1≤i≤j≤n) .

    Now given an integer m(m>0) , your task is to find m pairs of i and j which make sum(i1,j1)+sum(i2,j2)+sum(i3,j3)+...+sum(im,jm) maximal( ix ≤ iy ≤ jx or ix ≤ jy ≤ jx is not allowed).

    But I`m lazy, I don’t want to write a special-judge module, so you don’t have to output m pairs of i and j, just output the maximal summation of sum(ix,jx)(1≤x≤m) instead. ^_^

Input

    Each test case will begin with two integers m and n, followed by n integers S1,S2,S3...Sn.
    Process to the end of file.

Output

    Output the maximal summation described above in one line.

Sample Input

1 3 1 2 3
2 6 -1 4 -2 3 -2 3

Sample Output

6
8

Hint

Huge input, scanf and dynamic programming is recommended.

题面大意 ：

    给出 m， n两个数， 以及 n 个数， 将这 n 个数分成 m 组， 当然也可以不选， 求这 m 组的和的最大值。

题解 ：

    相信大家都是一眼看出这是一道 dp， 其实这是一道比较经典的 dp 题， 当然在 HDU 中还有许多的变形， 比如 HDU 1224 有兴趣的话可以去做一下。
    我们定义 dp[i][j] 表示将前 j 个数分成 i 组的最大的和， 我们可以得到转移方程 ： dp[i][j]=max(dp[i][j−1]+a[j],max(dp[i−1][k]+a[j]))(0<k≤j−1) 分别表示独立成组， 或和前面的状态成组， 于是我们就愉快的得到了一个复杂度为 ： O(m∗n∗n) 的 dp， 但是这道题 n ≤ 100000, 考虑优化。
    我们可以看到 dp[i][j] 只与 dp[i][j - 1] 以及 dp[i - 1] 的所有状态有关， 其实这是一个比较常见的套路， 当 dp 只与上个状态有关， 我们都可以记录前面的最优解然后优化掉一个 n, 比如这里我们就记录 dp[i - 1] 中最大的值， 这样我们就不用去遍历 k了。
    这时我们发现， 我们的空间炸了，因为 m 一旦大了， 就 1e7或者更高的定义， 考虑优化，因为我们dp[i - 1] 的所有的信息我们都已经存下来了，于是dp[i - 1] 这个状态我们用不到了， 于是我们舍去就可以降成一维 dp 了， 于是这道题就愉快的想出来了。

代码 ：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

inline int read() {
    int i = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') {
        if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();
    }
    while(ch >= '0' && ch <= '9') {
        i = (i << 3) + (i << 1) + ch - '0'; ch = getchar();
    }
    return i * f;
}

const int MAXN = 1e6 + 10;
int dp[MAXN], mx[MAXN], a[MAXN];

int main() {
    int n, m;
    while(scanf("%d%d", &m, &n) != EOF) {
        for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read(), dp[i] = 0, mx[i] = 0;
        int x = 0;
        for(int i = 1; i <= m; ++i) {
            x = -0x3f3f3f3f;
            for(int j = i; j <= n; ++j) {
                dp[j] = max(dp[j - 1] + a[j], mx[j - 1] + a[j]);
                mx[j - 1] = x;
                x = max(x, dp[j]);
            }
        }
        printf("%d\n", x);
    }
}

本题结束 ：

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