学习一个pb_ds库

pb_ ds库大概是GNU对C ++的一个扩展库，地位上必然是不如TR1这种基本成为官方标准的扩展库，但也是G++编译器默认附带的库。我在少数几个OJ上做了测试，CF和SPOJ都可以成功编译，但POJ和HDU都找不到头文件令我大失所望（事实上经我测试，连TR1的扩展如unordered_map都无法支持，我估计boost库也全都无法使用）。其实我是寄希望于在ACM现场赛可以使用……
pb_ds库全称是Policy-Based Data Structures，可见是一些数据结构的集合，主要是Hash表，平衡二叉树、Trie树，优先队列（堆）等。英文官方文档传送门，里面有对各种数据结构的接口说明以及部分操作的性能测试。我现在只是试用了不多的几种结构，先写出来好了。

优先队列（Priority Queue）

我们知道在标准模板库（STL）中自带了priority_queue，在相当意义上替代了堆（Heap）的作用（我会说我已经好久没有手写堆了么）。但是在某些情况下，我们发现它并不能很好地应对某些需求，尤其是在一些图论算法中。比方说堆优化的Dijkstra，需要对优先队列中的元素的值进行修改；比方说一些题目需要对若干个堆进行合并。对于前者我们往往是记录了每个点对应的当前最短dist，然后将每次更新都入队（换言之存在重复入队），出队的值与当前dist不同的元素直接忽略掉（见这份板子中的代码），其实是存在时空浪费的；对于后者我们往往要手写左偏树或斜堆等数据结构来代替STL优先队列。此外在一些情况下，我们对STL自带优先队列的速度并不满意，甚至对手写堆的速度也不满意，如BZOJ3040就需要手写斐波那契堆或配对堆（恶心题还是要找中学生的题库啊），但斐波那契堆的难写大家也都是明白的。
所以，我们需要一个方便易用不需手打的替代品。pb _ ds库基本上满足了这些需求。pb _ ds库包含了配对堆（pairing_heap）、二叉堆（binary_heap）、二项堆（binomial_heap）、冗余计数二项堆（redundant-counter binomial_heap，没找到通用译名，故自行翻译）、经改良的斐波那契堆（thin_heap）。各项操作复杂度在这里都能看到，可见pairing_heap和thin_heap的理论效率非常之高，某些操作达到均摊O(1)，正是上面那道题的上上之选。

#include  
#include  
using namespace std;  
using namespace __gnu_pbds;  
int main() {  
    //freopen("in.txt","r",stdin);  
    //freopen("out.txt","w",stdout);  
    int n,x;  
    while(~scanf("%d",&n)) {  
        __gnu_pbds::priority_queue<int,greater<int> > pq;  
        while(n--) {  
            scanf("%d",&x);  
            pq.push(x);  
        }  
        int ans=0;  
        while(pq.size()>1) {  
            int x=pq.top();  
            pq.pop();  
            int y=pq.top();  
            pq.pop();  
            ans+=x+y;  
            pq.push(x+y);  
        }  
        print

首先pb_ds库统一使用__gnu_pbds命名空间，这和hash_map使用__gnu_cxx命名空间是类似的。声明部分比较奇怪，经我测试必须加上__gnu_pbds::前缀，我想这和我同时使用了std命名空间，导致编译器无法确认应该使用STL还是pb_ds库导致的。第二个参数是比较函数，和STL的priority_queue类似，默认是less，第三个参数代表使用的堆类型，默认为pairing_heap_tag。
这次测试每种堆都运行了5遍，记录时间的上下界；此外STL的priority_queue所用时间大致是5.4s~6.2s，我手写的堆（用数组模拟，使用位运算的普通二叉堆）所用时间大致是1.2s~1.4s。有个很奇怪的地方是pb_ds库的binary_heap的效率令人发指地低下，不明原因。总而言之，pairing_heap最具可用性。
此外pb_ds库的优先队列支持迭代器，声明方法是：

__gnu_pbds::priority_queue::point_iterator it;  

然后就可以按照一般的迭代器使用了；pb_ds库的push操作是有返回值的（与STL不同），返回的类型就是迭代器，这样用一个迭代器数组保存所有push进优先队列的元素的迭代器，就可以随时修改优先队列内部元素了。
此外，pb_ds库的优先队列支持合并操作，pairing_heap的合并时间复杂度是O(logn)的，可以说基本上完美代替了左偏树。合并的调用方式是：

__gnu_pbds::priority_queue a,b;  
// 对两优先队列进行一些操作  
a.join(b);

此时优先队列b内所有元素就被合并进优先队列a中，且优先队列b被清空。
很遗憾我查看了文件，发现了public方法里有用于分离的split函数，但split函数需要两个参数，我始终没有找到第一个参数的含义是什么，也就暂时无法使用split函数了。何况对于堆而言，分离的意义并不是十分明确，实用性并不大，也就不再探究了。

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）

其实这才是更让我感兴趣的东西。在刷题过程中我们经常使用到set和map，也知道它们的内部实现是红黑树，但我们显然无法按照操作平衡二叉树的方式操作它们，甚至连平衡二叉树最基本的求kth和求rank操作都无法在O(logn)内完成。好在pb_ds库给了一个并不是很强大，但在一些时候足够用的解决方案。
pb_ds库这次内置了红黑树（red-black tree）、伸展树（splay tree）和排序向量树（ordered-vector tree，没找到通用译名，故自行翻译）。这些封装好的树都支持插入（insert）、删除（erase）、求kth（find_by_order）、求rank（order_of_key）操作，于是我找来正好需要这四种操作的一道题

SPOJ3273进行效率测试。

#include  
#include  
using namespace std;  
using namespace __gnu_pbds;  
int main() {  
    /** 
    * spoj3273, G++4.3.2, 4.66s 
    * tree,rb_tree_tag,tree_order_statistics_node_update> bbt; 
    */  

    /** 
    * spoj3273, G++4.3.2, TLE 
    * tree,splay_tree_tag,tree_order_statistics_node_update> bbt; 
    */  

    /** 
    * spoj3273, G++4.3.2, TLE 
    * tree,ov_tree_tag,tree_order_statistics_node_update> bbt; 
    */  
    tree<int,null_type,less<int>,rb_tree_tag,tree_order_statistics_node_update> bbt;  
    int n,num;  
    char c;  
    scanf("%d",&n);  
    while(n--) {  
        scanf(" %c%d",&c,&num);  
        switch(c) {  
        case 'I':  
            bbt.insert(num);  
            break;  
        case 'D':  
            bbt.erase(num);  
            break;  
        case 'K':  
            num<=bbt.size()?printf("%d\n",*bbt.find_by_order(num-1)):puts("invalid");  
            break;  
        case 'C':  
            printf("%d\n",bbt.order_of_key(num));  
            break;  
        }  
    }  
}  

此外，我手写了Treap和Size Balanced Tree（代码在此）并经过测试，前者3.94s，后者4.06s，可见手写数据结构的速度总归要比封装好的要快，而封装好的实现中红黑树速度最快，这也是意料之中的。关于声明变量时的参数，第一个是键（key）的类型；第二个是值（value）的类型，null_type表示没有值，简单地理解就是表明这是set而不是map，注意SPOJ的G++版本稍旧（4.3.2），需要写成null_mapped_type才可以，我本地的G++版本为4.7.1；第三个表示比较函数，默认为less；第四个为平衡二叉树的类型，默认为红黑树rb_tree_tag；第五个代表元素的维护策略，只有当使用tree_order_statistics_node_update时才可以求kth和rank，此外还有null_tree_node_update（默认值）等，具体的区别在官方文档中有介绍（好吧我承认我没看懂= =）。
这里要注意的是，求kth（find_by_order）返回的是迭代器，求rank返回的是值，两者都是从0开始计算的。
此外，它们也支持合并（join）和分离（split）操作。用法如下。

tree a,b;  
// 对两平衡二叉树进行一些操作  
a.join(b);  
// 对两平衡二叉树进行一些操作  
a.split(v,b);  

这里需要进行一些解释。join操作的前提是两棵树的key的取值范围不相交，否则会抛出一个异常；合并后平衡二叉树b被清空。split操作中，v是一个与key类型相同的值，表示key小于等于v的元素属于平衡二叉树a，其余的属于平衡二叉树b，注意此时后者已经存有的元素将被清空。

红黑树（red-black tree）

定义一颗红黑树
int 关键字类型
null_type无映射(低版本g++为null_mapped_type)
less从小到大排序
rb_tree_tag 红黑树（splay_tree_tag）
tree_order_statistics_node_update结点更新
插入t.insert();
删除t.erase();
Rank:t.order_of_key();
第K值:t.find_by_order();
前驱:t.lower_bound();
后继t.upper_bound();
a.join(b)b并入a 前提是两棵树的key的取值范围不相交
a.split(v,b)key小于等于v的元素属于a，其余的属于b
T.lower_bound(x) >=x的min的迭代器
T.upper_bound((x) >x的min的迭代器
T.find_by_order(k) 有k个数比它小的数

一些题

1：COGS 2.旅行计划
题目地址：
http://cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=2
求起点到所有点的最短路，可以用pb_ds中的priority_queue优化Dijkstra
代码：
http://cogs.pro/cogs/submit/code.php?id=149462
tips：
①声明格式必须是__gnu_pbds::priority_queue，因为STL里还有另一个priority_queue
②pb_ds包含的这些堆的迭代器是point_iterator而非iterator（见代码16行）
③push函数有返回值，返回指向插入元素的迭代器
④可以用Q.modify(iter,val)这样的用法（iter是迭代器,val是新值）来修改堆中元素，不必像用原先那种priority_queue时那样非常奇怪地新插元素再记used数组

2：BZOJ 3040.最短路(road)
题目地址：
http://www.lydsy.com:808/JudgeOnline/problem.php?id=3040
李煜东出的题，猥琐地卡堆优化Dijkstra的堆效率，一般堆过不去，出题人给的题解是用Fibonacci堆，我们可以用pb_ds中的配对堆（标签：pairing_heap_tag）或thin_heap（据说像是Fibonacci堆的玩意，标签：thin_heap_tag）通过
代码：
http://fayaa.com/code/view/28244/
用邻接表写的，不同于上一题的vector存边

3：COGS 1829/Tyvj 1728.普通平衡树
题目地址：
http://cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=1829
需要实现一个支持点插入，点删除，查询rank，求第k大，求前驱/后继的数据结构
正好可以用pb_ds中的tree实现
pb_ds中tree的功能：set/map支持的所有功能，还包括查询rank，求第k大，按值分割（把值>=x的割到另一棵树中），合并值域不相交的两棵树
为了实现查询rank和求第k大，必须加上tree_order_statistics_node_update
代码：
http://cogs.pro/cogs/submit/code.php?id=149421
tips：
①null_mapped_type是用来占位的，如果它是一个真正的数据类型那就是map，如果像这样就是set。在一些编译器上（如COGS的编译器）必须用null_mapped_type，在另一些编译器上必须用null_type
②即使键类型是long long，你仍然可以强行把比较器定义成less或者greater，当然会出bug
③pb_ds不资瓷类似multiset/multimap的玩意，你必须自行搞一个偏移量。我的方法是把每个元素乘以2^20后加上偏移量，偏移量是‘当前重复了几次’，再用一个map来维护“每个元素出现了几次”，前驱后继直接在map上计算

4：COGS 314.[NOI2004]郁闷的出纳员
题目地址：
http://cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=314
要求实现：点插入，求第k大，删除小于某个值的元素（需要记录删了多少）
“删除小于某个值的元素”用split实现，用greater比较，删除的命令类似于T.split(low,TE)，其中TE是一棵无用的树
代码：
http://cogs.pro/cogs/submit/code.php?id=149424
tips：find_by_order和order_of_key中的“order”都是从0开始数的

5：COGS 194.[HAOI2008]排名系统
题目地址：
http://cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=197
要求：点插入/更新，查询rank，求第k大，但元素是一个结构体（名字，得分，更新时间）
用到了pb_ds中的tree和hash_table
tree中存放结构体，为了比较我们需要自定义伪函数，所谓伪函数就是一个内部重载了()运算符的class，见代码中的Compare类。对于这道题，我们在Compare类中重载()运算符，实现“<”的功能，并将其放在上几题中greater的位置上。
需要注意，Compare类中重载()运算符时，一定要在函数体前加一个const（见代码24行花括号前的const），代表该函数不会改变传入的元素，否则会编译失败。
pb_ds中的hash_table作用跟map差不多，有cc_hash_table和gp_hash_table两种，前者是用链表存冲突元素，后者是用试探法解决冲突。
hash_table用法和map类似（广义数组），但注意它的迭代器叫point_iterator而非iterator，和priority_queue一样
代码：
http://cogs.pro/cogs/submit/code.php?id=149448