第五章 二叉树
树的逻辑结构：
1. 树的定义：
树：n（n≥0）个结点的有限集合。
当n＝0时，称为空树；
任意一棵非空树满足以下条件：
⑴ 有且仅有一个特定的称为根的结点；
⑵ 当n＞1时，除根结点之外的其余结点被分成m（m>0）个互不相交的有限集合T1,T2,… ,Tm，其中每个集合又是一棵树，并称为这个根结点的子树。
2.树的基本术语：
结点的度：结点所拥有的子树的个数。
树的度：树中各结点度的最大值。
叶子结点：度为0的结点，也称为终端结点。
分支结点：度不为0的结点，也称为非终端结点。
孩子、双亲：树中某结点子树的根结点称为这个结点的孩子结点，这个结点称为它孩子结点的双亲结点；
兄弟：具有同一个双亲的孩子结点互称为兄弟。
路径：如果树的结点序列n1, n2, …, nk有如下关系：结点ni是ni+1的双亲（1<=i<k），则把n1, n2, …, nk称为一条由n1至nk的路径；路径上经过的边的个数称为路径长度。
祖先、子孙：在树中，如果有一条路径从结点x到结点y，那么x就称为y的祖先，而y称为x的子孙。
结点所在层数：根结点的层数为1；对其余任何结点，若某结点在第k层，则其孩子结点在第k+1层。
树的深度：树中所有结点的最大层数，也称高度。
层序编号：将树中结点按照从上层到下层、同层从左到右的次序依次给他们编以从1开始的连续自然数。
有序树、无序树：如果一棵树中结点的各子树从左到右是有次序的，称这棵树为有序树；反之，称为无序树。
森林：m (m≥0)棵互不相交的树的集合。
同构：对两棵树，若通过对结点适当地重命名，就可以使这两棵树完全相等（结点对应相等，结点对应关系也相等），则称这两棵树同构。
3.树的抽象数据类型定义
DestroyTree
前置条件：树已存在
输入：无
功能：销毁一棵树
输出：无
后置条件：释放该树占用的存储空间
Root
前置条件：树已存在
输入：无
功能：求树的根结点
输出：树的根结点的信息
后置条件：树保持不变
Parent
前置条件：树已存在
输入：结点x
功能：求结点x的双亲
输出：结点x的双亲的信息
后置条件：树保持不变
Depth
前置条件：树已存在
输入：无
功能：求树的深度
输出：树的深度
后置条件：树保持不变
PreOrder
前置条件：树已存在
输入：无
功能：前序遍历树
输出：树的前序遍历序列
后置条件：树保持不变
PostOrder
前置条件：树已存在
输入：无
功能：后序遍历树
输出：树的后序遍历序列
后置条件：树保持不变
endADT
4.树的遍历操作
树的遍历：从根结点出发，按照某种次序访问树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。
抽象操作，可以是对结点进行的各种处理，这里简化为输出结点的数据。
树结构（非线性结构）→线性结构
树通常有前序（根）遍历、后序（根）遍历和层序（次）遍历三种方式。
前序遍历
树的前序遍历操作定义为：
若树为空，不进行遍历；否则
⑴ 访问根结点；
⑵ 按照从左到右的顺序前序遍历根结点的每一棵子树。
后序遍历
树的后序遍历操作定义为：
若树为空，则遍历结束；否则
⑴ 按照从左到右的顺序后序遍历根结点的每一棵子树；
⑵ 访问根结点。
层序遍历
树的层序遍历操作定义为：
从树的第一层（即根结点）开始，自上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。
6.树的存储结构
双亲表示法
基本思想：
用一维数组来存储树的各个结点（一般按层序存储），
数组中的一个元素对应树中的一个结点，
每个结点记录两类信息：结点的数据信息以及该结点的双亲在数组中的下标。
7.二叉树定义
二叉树是n（n≥0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。
二叉树的特点：
⑴ 每个结点最多有两棵子树；
⑵ 二叉树是有序的，其次序不能任意颠倒。
特殊的二叉树
斜树
1 .所有结点都只有左子树的二叉树称为左斜树；
2 .所有结点都只有右子树的二叉树称为右斜树；
3.左斜树和右斜树统称为斜树。
斜树的特点：
1. 在斜树中，每一层只有一个结点；
2.斜树的结点个数与其深度相同。
满二叉树
在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上。
满二叉树的特点：
1.叶子只出现在最下一层；
2.只有度为0和度为2的结点。
完全二叉树的基本性质
性质5-5 对一棵具有n个结点的完全二叉树中从1开始按层序编号，则对于任意的序号为i（1≤i≤n）的结点（简称为结点i），有：
（1）如果i＞1，
则结点i的双亲结点的序号为 i/2；如果i＝1，
则结点i是根结点，无双亲结点。
(2)如果2i≤n，
则结点i的左孩子的序号为2i；
如果2i＞n，则结点i无左孩子。
(3)如果2i＋1≤n，
则结点i的右孩子的序号为2i＋1；如果2i＋1＞n，则结点 i无右孩子。
二叉树的遍历操作
二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。 二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。
抽象操作，可以是对结点进行的各种处理，这里简化为输出结点的数据。
前序（根）遍历
若二叉树为空，则空操作返回；否则：
①访问根结点；
②前序遍历根结点的左子树；
③前序遍历根结点的右子树。
中序（根）遍历
若二叉树为空，则空操作返回；否则：
①中序遍历根结点的左子树；
②访问根结点；
③中序遍历根结点的右子树。
后序（根）遍历
若二叉树为空，则空操作返回；否则：
①后序遍历根结点的左子树；
②后序遍历根结点的右子树。
③访问根结点；
层序遍历
二叉树的层次遍历是指从二叉树的第一层（即根结点）开始，从上至下逐层遍历，在同一层中，则按从左到右的顺序对结点逐个访问。
void Preorder(int root, char data[]){
if(data[root]!='\0'){
cout< Preorder(2*root,data); Preorder(2*root+1,data); } return; } void InOrder(int root, char data[]){ if(data[root]!='\0'){ InOrder(2*root,data); cout< InOrder(2*root+1,data); } return; } void PostOrder(int root, char data[]){ if(data[root]!='\0'){ PostOrder(2*root,data); PostOrder(2*root+1,data); cout< } return; } void create(char preorder[],char inorder[],int start_p, int end_p,int start_i,int end_i, char data[],int root){ if(start_p>end_p) return ; else{ int k; for(int i=start_i;i<=end_i;i++){ if(inorder[i]==preorder[start_p]){ k=i; break; } } data[root]=preorder[start_p]; create(preorder,inorder,start_p+1,start_p+k-start_i,start_i,k-1,data, 2*root); create(preorder,inorder,start_p+k-start_i+1,end_p,k+1,end_i,data,2*root+1); } return ; }