[补充内容]概率论与数理统计02

古典概型

古典概型定义：样本空间S中样本点有限；出现每一个样本点的概率相等。
P（A）=m/n包含的基本事件的个数m，基本事件的总数n。
放回抽样每一次抽取的概率相同；与不放回抽样每次抽取的概率不同。
排列：
定义：从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A^m_n表示。
A^m_n=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!/(n-m)!
 规定0! = 1
组合：
定义：从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C^m_n表示。
C^m_n=A^m_n/m!

条件概率

P(B|A)表示在A发生的条件下，B发生的条件概率。
条件概率定义：P(B|A)=P(AB)/P(A)，其中P(A)>0。
条件概率同样满足概率的公理：非负性；规范性；可列可加性；

全概率公式与贝叶斯公式

样本空间的一个而划分：称B₁,B₂,…,B_n为S的一个划分，若（1）S=B₁∪B₂∪…∪B_n（2）B_iB_j=Φ,i≠j。

全概率公式：
设B₁,B₂,…,B_n为S的一个划分，且 P(B₁)>0，则有全概率公式：
P(A)=∑ⁿ_j=1P(B_j)·P(A|B_j)
P(A|B_j)表示B_j发生的条件下A发生的概率。

贝叶斯（Bayes）公式：
定理：B₁,B₂,…,B_n为S的一个划分，且 P(B₁)>0，对P(A)>0，有Bayes公式：

事件的独立性

相互独立：设A、B是两个随机事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，就称A，B相互独立。
若P(A)>0，P(B)>0，则P(AB)=P(A)P(B)等价于P(B|A)=P(B)=P(A)=P(A|B)，因为A、B相互独立，A或B的发生与否不影响另一个的发生概率。
此相互独立的办法也可以扩展到n个事件之间的独立关系，两两独立不能推出素有事件是相互独立的。
例如对按个事件A、B、C，互相独立的定义应为：
P(AB)=P(A)P(B)
P(AC)=P(A)P(C )
P(BC)=P(B)P(C )
P(ABC)=P(A)P(B)P(C )
两两独立的定义是前三条，没有第四条黄色标注的条件
小概率事件
实际推断原理：概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的。
注意：小概率不是不会发生，当实验次数足够多（区域无穷），那么这个小概率事件发生的概率的极限为一。（常在河边走哪有不湿鞋）