H_On简结 - 思路超清晰的解释约瑟夫环问题

前言

在一年半前还是个新生，第一次接触专业的编程教育的我刷题刷的很起劲，经典的猴子选大王问题就是在那时候遇到的，那时候我花了好久，用数组加判断实现了模拟选人，最终做出来了这道题。

如今已经熟练了掌握各种容器，对编程的理解也不可同日而语，但模拟已经不能满足如今的需要了。

好久以前老师曾助教新生时发现一个孩子用了 “公式推导法” 却说不出个所以然，于是让我们来解释，当时我绞尽脑汁没有想明白，最后有几个慧根灵光的同学说了说，感觉没懂，于是不再深究。

直到前几天做题又遇到了这个题，模拟时间超限，公式法又不会，于是等到比赛结束，开始用心的研究【约瑟夫环】了。

目录

• 简介
  • 基础题意
  • 思路简介
• 算法讲解
  • 首先搞清 10 个猴去掉 1 个怎么变成 9 只猴
  • 其次搞清每一轮的结果之间的关系
• 代码展示
• 变 k 讲解
• 推荐题目
• 鸣谢文章

简介

基础题意

• 猴子选大王：有 n 只猴子围成一圈，每只猴子用 1-n 编号，从 1 开始数，数到 3 的猴子出列。从下一个猴子开始继续从 1 开始报数，同样报到 3 的猴子出列。直到最后出列的猴子就是大王，求大王的编号是多少。
• 杀人：有 2n 个人，n 个好人 n 个坏人，他们围成一圈，分别在编号 1-n 的位置上。从 1 开始报数，谁喊到 k 的就会被杀，直到剩下 n 个人。问你如何安排好人的位置才能让游戏杀掉的全是坏人。
• 大乱斗：有 n 个人围一圈，编号 1-n ，1 号作为开头，每一轮都从 1 开始报数。第一轮杀掉喊 1 的人，第二轮杀掉喊 2 的人 . . .第 n - 1 轮杀掉喊 n - 1 的人。直到剩 1 个人，问你最后剩下那个人编号是多少。

像以上这些都是可以用约瑟夫环来解决的例题，这里我只列了三个我想得起来的。

第一个是基础，第二个是应用，第三个是推广。

思路简介

这一类的题模拟的方法就不说了，基本上往后做 ACM 用模拟肯定 TLE 。

思路就是：【例如 10 只猴子里选大王

• 10 只猴子里去掉 1 只，问题可以变成从 9 只猴子里选大王
• 9 只猴子里去掉 1 只，问题可以变成从 8 只猴子里选大王
• 8 只猴子里去掉 1 只，问题可以变成从 7 只猴子里选大王
• . . .
• 最后剩下 1 只猴子，就是大王

具体怎么转换，接下来我们详细讲解一下转换方式

算法讲解

首先搞清 10 个猴去掉 1 个怎么变成 9 只猴

我们先假设猴子有两个属性：编号 和 位置 ，简单的栗子，一开始编号和位置是对应的

• 第一轮是 0，1，2 报数，2 会报 “3” 因此 2 号出列
• 之后从 3 号开始报数，我们可以理解为 0，1 报数完成以后跑到了队尾。那么此时 3 号猴从 3 的位置跑到了 0 的位置，其他猴都往前走
• 新的队列生成后，依然从 0 开始报数，位置 0 和位置 1 的猴去后面，依然是 2 号位置的猴报到 “3” ，出队以后 3 号位置的猴站到 0 号位置，其他的猴往前补
• 猴的位置可能一直在变，但是它们各自的编号是永远不变的，因此最后剩一只猴，我们就可以得到这个猴的编号，得到结果

第一轮选出 2 号: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
第二次选出 5 号: 7 8   0 1 2 3 4 5 6
第三次选出 8 号: 4 5   6 7   0 1 2 3
第四次选出 1 号: 1 2   3 4   5 6   0
第五次选出 6 号: 5     0 1   2 3   4
第六次选出 0 号: 2     3 4     0   1
第七次选出 7 号:       0 1     2   3
第八次选出 4 号:       1 2         0
第九次选出 9 号:       1           0
最终结果是 3 号:       0

可以看到每次都选 3 选 3 的，虽然出队的猴的编号不一样，但是对于 新队列 除去的一定是站在 2 号位置的猴。

这就是我们说的：10 个猴去掉一个，题目就变成从 9 个猴里选结果【有点递归的意思

要注意一点，实际上程序里的编号并不是 1 ~ n 而是 0 ~ n-1 。因为我们在往后推移的时候有可能会超出人数，因此要对人数取余，而 n 的余数是 0 ~ n-1 因此如果用 1 ~ n 来推算会出错，结果需要 +1，之后看代码的时候还会再次说明此事

其次搞清每一轮的结果之间的关系

k 是一个数，每当报数报到 k 就把这个人踢出去，这里先声明一下 k ，现在先以 3 为例。
观察上面的栗子，最开始的序列是

序列 a: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

之后 2 号踢出去之后，因为接下来假装还是从 0 开始报数，所以 3 号变 0 号

序列 b: 7 8   0 1 2 3 4 5 6

我们会发现，序列 b 中的任何一 个号 i 都满足一个式子 (bi + 3) % a的长度 = a中对应的数

几个栗子：

(7 + 3) % 10 = 0
(0 + 3) % 10 = 3
(4 + 3) % 10 = 7

同理：

第二次选出 5 号: 7 8   0 1 2 3 4 5 6
第三次选出 8 号: 4 5   6 7   0 1 2 3
(7 + 3) % 9 = 1
(5 + 3) & 9 = 8
第八次选出 4 号:       1 2         0
第九次选出 9 号:       1           0
(0 + 3) % 3 = 0
(1 + 3) % 3 = 1

---

我相信到此为止，大家都了然了，既然公式有了，那还说啥？循环就完事了

代码展示

这里还要再说一句，因为这个思路从上到下的标号一直在变，公式也是 从下往上 推算的，因此循环的时候也是从 求 2 个数的结果 到 求 n 个数的结果 。你问 n = 1 的时候怎么办？结果不是已经出来了吗 = =

r 的初始值是 0 ，因为求 1 个猴的话结果直接就是第一个 - 0 。每次循环求的都是 答案对应在上一层的编号 推算到最后就得到最后的编号了。如果编号是 1 ~ n 的话返回的结果就要 +1 。

#include 
using namespace std;

int JO(int n, int k) {
        int r = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i += 1) r = (r + k) % i;
        return r;
}

int main() {
        ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
        int n, k; cin >> n >> k;
        cout << JO(n, k) + 1 << endl;
        return 0;
}

其实我对递归的写法还是挺喜欢的：JO 级函数

• 到最后一层就返回 0
• 不到最后一层那就是用下一层的答案 JOJO(n - 1, k) 加上 k 再对这一层的人数取余，得到这一层的结果

int JOJO(int n, int k) {
        if (n == 1) return 0;
        return (JOJO(n - 1, k) + k) % n;
}

变 k 讲解

我们知道，k 是一个关键数，每当报数报到 k 的时候就处理，那么这个关键数如果改变了怎么办呢。只要我们搞清楚每一轮 对应的 关键数是多少就好。

上面说过的第三个栗子：第一轮杀 报 1 的，第二轮杀 报 2 的 . . .这时候我们只需要让 k 的值变起来就好了

注意：n 个人的时候，k 是 1 ，n 越来越少的时候 k 越来越大，所以这个每一轮对应的 k 值一定要想清楚

#include 
using namespace std;

int JO(int n, int k) {
        int r = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i += 1, k -= 1) r = (r + k) % i;
        return r;
}


int main() {
        ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
        int n; cin >> n;
        cout << JO(n, n - 1) + 1 << endl;
        return 0;
}

同样给出递归的方式，各位可以尝试自己理解一下

int JOJO(int n, int k) {
        if (n == 1) return 0;
        return (JOJO(n - 1, k + 1) + k) % n;
}

推荐题目

国王游戏

鸣谢文章

我看了好多将约瑟夫环的文章，大都讲的不明不白，有的甚至直接给个代码。直到看了这篇文章，里面有把各阶段列出来，让我茅塞顿开。就像我学线段树那会，有时候对不好理解的代码，把每一步改变都列出来对理解和解释原理都有很大的帮助。请看 -----> 秒懂约瑟夫环

请多多支持猹的个人博客 H_On 个人小站
因为猹的小站真的还挺可的，所以那边更新的也比较勤奋，感谢关注~我会努力的(ง •_•)ง