零钱兑换问题

虽然leetcode上将零钱兑换问题标记为中等难度，但我觉得这两个问题的难度比一些困难的问题还更让人摸不着头脑。

 

两个问题：分别是求兑换需要的最少硬币个数、兑换方式有几种。这两个问题相比之下，第一个问题更容易理解一些。

 

兑换需要的最少硬币个数

一开始看这个问题，先入为主的认为硬币时1、2、5，然后就直接想到了贪心算法。对于1、2、5的组合，贪心算法绝对是没问题的，因为只要能被大硬币cover的，一定是用大硬币更好，人们用1、2、5作为货币也是有道理的。但是，硬币的面值并不是普通方式，好吧，只能将问题泛化思考了。

给定的钱数a，硬币coins。依然是先考虑最大面值的硬币c[n-1]，分别选择0、1、2... a/coins[n-1] 个，然后递归选择更小面值的硬币。这时最优子结构和状态数组就呼之欲出了，dp[k][i]代表 面值小于c[k]的所有硬币组合出钱数i 的最少使用硬币数。状态转移方程就是   dp[k][i] = min (dp[k-1][i-m*coins[k]]) m=0、1、2... a/coins[k]

上面是自顶向下的思考方式，下面再考虑自底向上的思考方式。

假设f(i) 为组合出钱数i的最少硬币数，那么用这个最优值分别加上一个硬币c组成的钱数i+c，f(i)+1应该也是组成i+c的最少硬币数的一种可能性。此时状态数组和状态转移方程也很容易想到了，用迭代就能实现。

还可以如此思考：假设现在要求f(i)，假设f(i-1)之前都代表最少硬币数，f(i) = min (f(i-coins[k]) + 1) ，k = 0、1、2……n-1

还有用贪心+dfs算法的，基本上是通过剪枝来达到提高速度的，如这篇文章所提，我也不知道DFS为什么比dp快 。https://leetcode-cn.com/problems/coin-change/solution/dfsjian-zhi-2ms-ji-bai-100bi-dphuan-kuai-by-iejepw/

 

兑换方式有几种

这里的自底向上思考方式和上面问题已经不一样了，强行使用相同的方式，会发现计算结果会多出来。因为这个问题求的是组合数，而上面问题不在乎是组合还是排列，是找所有可能性（也可以称为排列吧）的最小值。

那么，重新从泛化的角度开始思考。

给定的钱数a，硬币coins。依然是先考虑最大面值的硬币c[n-1]，分别选择0、1、2... a/coins[n-1] 个，然后递归选择更小面值的硬币。那么，这里就可以尝试获得最优子结构和状态数组了。用dp[k][i] 代表用小于等于coins[k]面值的硬币组合成钱数i的兑换方式，如果无法兑换，即为0。状态转移方程也可以得出：dp[k][i] = sum (dp[k-1][i - coins[k]])，k=0、1、2……a/coins[k]。递归方式实现即可，状态数组初始化为-1，计算过程中保存计算结果避免重复计算。

那么有没有自底向上的思考方式呢？有，leetcode官方的思路就是https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2/solution/ling-qian-dui-huan-ii-by-leetcode/。但是这个思路解释的不够清楚，有一篇文章说的比较好，而且解释了为什么这个问题是组合问题、上面的问题是排列问题。并且和爬楼梯问题进行了对比，写的相当精彩，值得一看 -> https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2/solution/ling-qian-dui-huan-iihe-pa-lou-ti-wen-ti-dao-di-yo/