金刚坐飞机问题

这个题目出自微软《编程之美》，原题的解法比较繁琐，有些地方也没有解释得很清楚。这里把原书的方法重新描述了一下，并且给出一个更简单易懂的解法。

原题描述如下：

 

有一架航班要起飞，乘客们正准备按机票号码（1, 2, .., N）依次排队登机。突然来了一只大猩猩（名叫金刚），他也有飞机票，但是他插队第一个登上了飞机，然后随意选了一个座位坐下了。根据社会的和谐程度，其他的乘客有两种反应：

1. 乘客们都义愤填膺，“既然金刚同志不遵守规定，为什么要我遵守？”他们也随意地找座位坐下，并且坚决不让座给其他乘客。

2. 乘客们虽然感到愤怒，但还是以“和谐”为重，如果自己的位置没有被占领，就赶紧坐下，如果自己的位置已经被别人（或者金刚）占了，就随机选择另一个位置坐下。

 在这两种情况下，第i个乘客（除了金刚外）坐到自己原机票位置的概率分别是多少？

 

问题一

我们以前学概率的时候应该都知道，有N张彩票（只有一张会中奖），如果N个人随机抽取一张，那么每个人中奖的几率是一样的。先抽的人并不会比后抽的人中奖概率更高。这道题目如果把坐到第i个位子这个事件比作抽中奖，那么N个人随机选一个位子坐下来的情况下，每个人选中i的概率是一样的。显然，第一个人（金刚）坐在i的概率是1/N，所以每个人坐在i的概率都是1/N。

如果上面这些还不是很理解的话，没关系，下面给出证明。

第一个人坐在i的概率：1 / N

第二个人坐在i的概率 = 第一个人没有坐在i的概率 * 第二个人坐在i的概率 = (N - 1) / N * 1 / (N - 1) = 1 / N。乘法的第二项其实是个条件概率。

以此类推..

第N个人坐在i的概率 = 第一个人没有坐在i的概率 * 第二个人没有坐在i的概率 * .. * 第N个人坐在i的概率 = (N - 1) / N * (N - 2) / (N - 1) * .. * 1 / 2 = 1 / N。

可见，不管是哪个乘客，坐在第i个位置的概率都是 1 / N，当然也包括乘客i自己。

 

问题二

原书解法：

把“第i个乘客坐在自己位子的概率”分解成“如果金刚坐在第x个位子时，第i个乘客坐在自己位子的概率”，先计算后者。如果知道了后者（又是一个条件概率，记为P（i | x）），则根据全概率公式，可以知道第i位乘客坐在自己位置的概率P（i）= 1 / N * Sigma P（i | x）。1 / N是因为金刚坐在各个位子都是等概率的。

那么我们来计算P（i | x）。

显然，金刚若坐在自己的位子（x = 1），所有乘客都会坐到自己的位子上，包括第i个乘客。同样，如果金刚选择第i + 1 ~ N中的某个位子，第i个乘客同样可以坐自己的位置。这两种情况下，P（i | x）= 1。

如果金刚坐在第i个位子，显然，P（i | x）= 0。

如果金刚坐在2 ~ i - 1中的某个位子y，一下子好像没有直接答案。但是问题的关键就在这里。这样考虑，因为金刚选择了y的位子，乘客y必须另选一位。

1. 往前看，只有金刚的1号位子可以选。如果选择1号位，那么1 ~ y都会坐满。这时，乘客i坐到自己位子的概率与“金刚选择1号位，y选择自己的y号位“的概率是一样的（都是1）。

2. 往后看，可以选择y + 1 ~ N中的任何一个（记为z）。”金刚选择y，乘客y选择z情况下“乘客i坐到自己位子的概率，与”金刚选择z，乘客y坐到自己位子情况下“乘客i坐到自己位子的概率应该是相同的。这里，可以想象成乘客y与金刚交换了一下身份而已。