P1118 [USACO06FEB]数字三角形`Backward Digit Su`… 题解（dfs 深度优先搜索）

题目

P1118
题目描述
FJ and his cows enjoy playing a mental game. They write down the numbers from 1 to N(1≤N≤10) in a certain order and then sum adjacent numbers to produce a new list with one fewer number. They repeat this until only a single number is left. For example, one instance of the game (when N=4) might go like this:

    3   1   2   4
      4   3   6
        7   9
         16

Behind FJ’s back, the cows have started playing a more difficult game, in which they try to determine the starting sequence from only the final total and the number NN. Unfortunately, the game is a bit above FJ’s mental arithmetic capabilities.

Write a program to help FJ play the game and keep up with the cows.

有这么一个游戏：

写出一个1至N的排列a i
​ ，然后每次将相邻两个数相加，构成新的序列，再对新序列进行这样的操作，显然每次构成的序列都比上一次的序列长度少1，直到只剩下一个数字位置。下面是一个例子：

3,1,2,4

4,3,6

7,9

16

最后得到16这样一个数字。

现在想要倒着玩这样一个游戏，如果知道N，知道最后得到的数字的大小sum，请你求出最初序列a i，为1至N的一个排列。若答案有多种可能，则输出字典序最小的那一个。

[color=red]管理员注：本题描述有误，这里字典序指的是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,121,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

而不是1,10,11,12,2,3,4,5,6,7,8,91,10,11,12,2,3,4,5,6,7,8,9[/color]

输入格式
两个正整数n,sum。

输出格式
输出包括1行，为字典序最小的那个答案。

当无解的时候，请什么也不输出。（好奇葩啊）

输入输出样例
输入
4 16
输出
3 1 2 4
说明/提示
对于40%40%的数据，n≤7；

对于80%80%的数据，n≤10；

对于100%100%的数据，n≤12,sum≤12345。

分析

本题就是求解一个给定数字序列的一种排列组合，但如果直接上全排列，肯定会超时，所以我们需要观察数据来进行减枝。

通过看题解 观察数据我们可以发现n个数的计算符合n阶杨辉三角的规律，对于n=4，有sum=1w+3x+3y+1z。首先需要求出n阶的杨辉三角，利用公式yh[i][j]=yh[i-1][j-1]+yh[i-1][j]进行计算。之后进行序列的全排列，这时只需要判定如果每个数与杨辉三角第n行对应列数之积的和等于sum，即可得出解。

具体过程还需要额外的减枝判定，有需要可以看看下面的代码。

代码

#include
#include 

const int maxn = 15;
int n,sum;
int yh[maxn][maxn];
int a[maxn];
int vis[maxn];

void dfs(int r,int ans){
	if(ans > sum){ //不能超过sum 
		return;
	}
	if(r > n && ans == sum){ //符合要求 
		for(int i = 1;i <= n;i++)
			printf("%d ",a[i]);
		putchar(10);
		exit(0);
	}
	
	for(int i = 1;i <= n;i++){  
		if(vis[i])
			continue;	
		a[r] = i; //记录答案，每次dfs都会更新，所以不需要重置 
		
		vis[i] = 1;
		
		dfs(r+1,ans+i*yh[n][r]); //一个数与杨辉三角第n行对应列数之积
		
		vis[i] = 0;
	}
	
}

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&sum);
    yh[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)//构造杨辉三角
        for(int j=1;j<=i;j++)
            yh[i][j]=yh[i-1][j-1]+yh[i-1][j]; //主要用到第n行 
	
	dfs(1,0);
	
	return 0;
}