最优分解问题 | 贪心

最优分解问题：给定一个整数n，将n分成若干个不相同的自然数之和，使得这些自然数的乘积最大。

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1、贪心策略

首先，若分解成两个自然数之和，有如下定理：

根绝均值不等式的成立条件可知，若 a + b = const，则 |a - b| 越小，a·b越大。 

推广到分解成若干个自然数之和的情况： 

将正整数n分解为若干互不相同的自然数的和，同时又要使自然数的乘积最大。

• 当 n < 4 时：对n的分解的乘积是小于n的，应该选择不分解。
• 当 n >= 4时：n = 1 + (n - 1) < n，所以至少要从2开始分解：n = a + (n - a)， 2 ≤ a ≤ n - 2，可以保证乘积大于n，即越分解乘积越大。   

基于以上分析与结论，我们可以得到贪心策略：将n分成从2开始的连续自然数的和，如果最后剩下一个数，将此数在后项优先的方式下均匀地分给前面各项。 
：该贪心策略首先保证了正整数所分解出的因子之差的绝对值最小，即|a - b|最小；同时又可以将其分解成尽可能多的因子，且因子的值较大，确保最终所分解的自然数的乘积可以取得最大值。 

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2、严格证明

以上可以说是猜想吧，下面给出严格证明：