排队论及其代码

排队论（Queuing Theory）也称随机服务系统理论。
本文主要讨论先到先服务 FCFS的情形，顾客流设定为泊松流（一种非负随机变量的分布）

泊松流

1. 在不相互重叠的时间区间内，到达顾客数相互独立(无后效性)。
2. 对于充分小的时间间隔内，到达1个顾客的概率与t无关，仅与时间间隔成正比(平稳性)。
3. 对于充分小的时间间隔，2个及以上顾客到达的概率可忽略不计(普通性)。

泊松流到达间隔服从负指数分布。

系统运行指标

为了研究排队系统运行的效率，估计其服务质量，确定系统的优参数，评价系统 的结构是否合理并研究其改进的措施，必须确定用以判断系统运行优劣的基本数量指标，这些数量指标通常是：

1. 平均队长：指系统内顾客数（包括正被服务的顾客与排队等待服务的顾客）的数学期望，记作$L_s$ 。
2. 平均排队长:指系统内等待服务的顾客数的数学期望，记作 $L_q$ 。
3. 平均逗留时间：顾客在系统内逗留时间（包括排队等待的时间和接受服务的时间）的数学期望，记作$W_s$ 。
4. 平均等待时间：指一个顾客在排队系统中排队等待时间的数学期望，记作$W_q$ 。
5. 平均忙期：指服务机构连续繁忙时间（顾客到达空闲服务机构起，到服务机构再次空闲止的时间）长度的数学期望，记为 $T_b$。

单服务台系统

模型的条件是：

1. 输入过程――顾客源是无限的，顾客到达完全是随机的，单个到来，到达过程服从泊松分布，且是平稳的。
2. 排队规则――单队，且队长没有限制，先到先服务；
3. 服务机构――单服务台，服务时间的长短是随机的，服从相同的指数分布。

clear 
clc 
%***************************************** 
%初始化顾客源 
%***************************************** 
%总仿真时间 
Total_time = 10; 
%队列最大长度 
N = 10000000000; 
%到达率与服务率 
lambda = 10; 
mu = 6; 
%平均到达时间与平均服务时间 
arr_mean = 1/lambda; 
ser_mean = 1/mu; 
arr_num = round(Total_time*lambda*2); 
events = []; 
%按负指数分布产生各顾客达到时间间隔 
events(1,:) = exprnd(arr_mean,1,arr_num); 
%各顾客的到达时刻等于时间间隔的累积和 
events(1,:) = cumsum(events(1,:)); 
%按负指数分布产生各顾客服务时间 
events(2,:) = exprnd(ser_mean,1,arr_num); 
%计算仿真顾客个数，即到达时刻在仿真时间内的顾客数 
len_sim = sum(events(1,:)<= Total_time); 

%***************************************** 
%计算第 1个顾客的信息 
%***************************************** 
%第 1个顾客进入系统后直接接受服务，无需等待 
events(3,1) = 0; 
%其离开时刻等于其到达时刻与服务时间之和 
events(4,1) = events(1,1)+events(2,1); 
%其肯定被系统接纳，此时系统内共有 
%1个顾客，故标志位置1 
events(5,1) = 1; 
%其进入系统后，系统内已有成员序号为 1 
member = [1]; 
for i = 2:arr_num 
%如果第 i个顾客的到达时间超过了仿真时间，则跳出循环 
if events(1,i)>Total_time 
break; 
else 
number = sum(events(4,member) > events(1,i)); 

%如果系统已满，则系统拒绝第 i个顾客，其标志位置 0 
if number >= N+1 
events(5,i) = 0; 
%如果系统为空，则第 i个顾客直接接受服务 
else 
if number == 0 
%其等待时间为 0

events(3,i) = 0; 
%其离开时刻等于到达时刻与服务时间之和 
events(4,i) = events(1,i)+events(2,i); 
%其标志位置 1 
events(5,i) = 1; 
member = [member,i]; 
%如果系统有顾客正在接受服务，且系统等待队列未满，则 第 i个顾客进入系统 
else len_mem = length(member); 
%其等待时间等于队列中前一个顾客的离开时刻减去其到 达时刻 
events(3,i)=events(4,member(len_mem))-events(1,i); 
%其离开时刻等于队列中前一个顾客的离开时刻加上其服 
%务时间 
events(4,i)=events(4,member(len_mem))+events(2,i); 
%标识位表示其进入系统后，系统内共有的顾客数 
events(5,i) = number+1; 
member = [member,i]; 
end 
end 

end 
end 
%仿真结束时，进入系统的总顾客数 
len_mem = length(member); 

%***************************************** 
%输出结果 
%***************************************** 

%绘制在仿真时间内，进入系统的所有顾客的到达时刻和离开时刻曲线图（stairs：绘制二维阶梯图） 
stairs([0 events(1,member)],0:len_mem); 
hold on; 
stairs([0 events(4,member)],0:len_mem,'.-r'); 
legend('到达时间 ','离开时间 '); 
hold off; 
grid on; 
%绘制在仿真时间内，进入系统的所有顾客的停留时间和等 
%待时间曲线图（plot：绘制二维线性图） 
figure; 
plot(1:len_mem,events(3,member),'r-*',1: len_mem,events(2,member)+events(3,member),'k-'); 
legend('等待时间 ','停留时间 '); 
grid on;

多服务台系统

此模型与M/M/1模型不同之处在于有S个服务台，各服务台的工作相互独立，服务率相等，如果顾客到达时，S个服务台都忙着，则排成一队等待，先到先服务的单队模型。

% 多服务台模型
% 设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布
% 每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布

s=2; % 服务台数目
mu=4;
lambda=3;
ro=lambda/mu;
ros=ro/s;
sum1=0;

for i=0:(s-1)
    sum1=sum1+ro.^i/factorial(i);
end

sum2=ro.^s/factorial(s)/(1-ros);

p0=1/(sum1+sum2);
p=ro.^s.*p0/factorial(s)/(1-ros);
Lq=p.*ros/(1-ros);
L=Lq+ro;
W=L/lambda;
Wq=Lq/lambda;

fprintf('排队等待的平均人数为%5.2f人\n',Lq)
fprintf('系统内的平均人数为%5.2f人\n',L)
fprintf('平均逗留时间为%5.2f分钟\n',W*60)
fprintf('平均等待时间为%5.2f分种\n',Wq*60)