2017年浮点数408大题

【题目】

已知计算f(n)=的C语言函数f1如下：

int f1(unsigned n){
int sum=1,power;
for(unsigned i=0;i

将f1中的int都改成float，可得到计算f(n)的另一个函数f2。假设unsigned和int型数据都占32位，float采用IEEE754单精度标准。

1.当n=0时，f1会出现死循环，为什么？若将f1中的变量i和n都定义为int型，则f1是否还会出现死循环？为什么？

【解析】由于i和n是unsigned型，因此“i<=n-1”是无符号数比较，n=0时，n-1的机器数为全1，值为2^32 -1，为unsigned型可表示的最大数，条件“i<=n-1”永真，因此出现死循环。若i和n改为int类型，则不会出现死循环。因为“i<=n-1”是有符号整数比较，n-1此时为-1，i<=n-1不成立就退出for循环。

【注意】

2.f1(23)和f2(23)的返回值是否相等？机器数各是什么？（用十六进制表示）

PS:返回值是根据二进制串(机器数)的解释。

【解析】返回值相同。因为f(23)=2^（23+1） -1=2^24 -1，其二进制形式为24个1，即机器数为00FF FFFFH，int占32位所以没有溢出。float有1个符号位，8个指数位，23个底数位，并且隐含一位，所以23个底数位可以表示24位的底数。求f2(23)机器数：因为符号位为0，指数位为23+127=150的二进制为1001 0110，底数位为23个1即111 1111 1111 1111 1111 1111，所以f2(23)的机器数为0100 1011 0111 ...(20个1)，十六进制表示为4B7F FFFFH。

3.f1(24)和f2(24)的返回值分别为33 554 431和33 553 432.0，为什么不相等？

【解析】当n=24时，f(24)=1 1111 1111 1111 1111 1111 1111 B，而float型数只有24位有效位，舍入后数值增大（答这个即可），所以f2(24)比f1(24)大。 下图所示：末尾的1舍去，末尾进1，然后前面的一坨1变为0，再一次右移，此时阶码+1。（0舍1入）

4.f(31)=2^32 -1，而f1(31)的返回值却为-1，为什么？若使f1(n)的返回值与f(n)相等，则最大的n是多少？

【解析】f(31)已超出了int型数据的表示范围，用f1(31)实现时得到的机器数为32个1，作为int型数解释时其值为-1，即f1(31)的返回值为-1。因为int型最大可表示的数是0后面加31个1，因此使f1(n)的返回值与f(n)相等的最大n值为30。

5.f2(127)的机器数为7F80 0000H，对应的值是什么？若使f2(n)的结果不溢出，则最大的n是多少？若使f2(n)的结果精确（无舍入），则最大的n是多少？

【解析】IEEE754用“阶码全1，尾数全0”表示无穷大。f2的返回值为float型，机器数7F80 0000H对应的值是正无穷。当n=126时，f(126)=2^127 -1=1.11...1×2^126，对应的阶码为126+127=253，尾数部分舍入后阶码加1，最终阶码为254，是IEEE754单精度格式表示的最大阶码。因此使f2结果不溢出的最大n值为126.（刚好能达到0舍1入后是结果不溢出的n最大情况）

【我的做法】由于IEEE754单精度阶码最大为254，所以254-1-127=136，即得。

当n=23时，f(23)为24位1，float型数有24位有效位，所以不需要舍入，结果精确，因此使f2获得精确结果的最大n值为23.

注：由第（5）问知道：浮点数可以表示更大范围，代价是损失精度；而整型可以表示更好精度，代价是损失范围。