高等数学-对函数极限的理解

1.3 函数的极限

1.3.1 函数极限的定义

       1函数极限的一般概念：

在自变量的某个变化过程中（某个区间内），函数值无限接近于某个确定的值，那么这个值就是函数在这个变化过程中的函数极限（某个区间的函数极限）

注意：

                                i.           变化过程就是指某个区间，区间的确定直接影响到函数极限的取值，所以在求定义函数极限或者求函数极限时，区间是首先要确定的

                              ii.           函数的变化是局限于某个区间的，随着区间的变化而变化

                             iii.           这就是与数列极限的不同，数列中没有自变量，数列是一维的概念，在数列中，决定取值的是数列的下标(因为每个数列的项的下标都是唯一的，下标就是项的标识)，所以在定义数列极限或者确定数列的极限时，首先要明确下标的取值，这是门槛

2 自变量趋于有限值时函数的极限 P32

       定义1 设函数f(x)在点的去心邻域内有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数e（无论多小），总存在正数，使得当x满足不等式 ，对应的函数值满足不等式：

那么常数A就叫做函数f(x)当时的函数极限，记作

       F(X)有没有极限，与F(X)在是否定义无关         

1)      几何含义 P32

2)      左极限 = 右极限是 极限存在的充分必要条件

3)      定义解读：

a)      去心邻域内有定义，去心邻域就是指自变量的取值区间，在定义一开始就说明，因为这是前提

b)    总存在正数，使得当x满足不等式 ，这是将去心邻域内有定义 这句话用确切的代数式表达出

c)       对任意给定的正数e（无论它是多小） 解读和 定义2中的类似

 

3 自变量趋于无穷大时函数的极限

       定义2 设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对任意给定的正数e（无论它是多小），总存在着正数X，使得当X满足不等式|x| > X时，对应的函数值f(x)都满足不等式

那么常数A就叫做函数f(x)当时的函数极限，记作

1)      定义解读：

a)      大于某一正数时有定义  总存在着正数X，使得当X满足不等式|x| >X时 

这两句话一前一后，前面是说，要满足这么个要求，后一句给出满足这个要求的假设信息

b)      对任意给定的正数e（无论它是多小）

一定要注意，是任意给定。X的取值也和e有关系，不等式可以推算出一个关于x,e的不等式，为了满足它，结合|x| > X，在取N值的时候，可以参考e变换得来的代数式 –> 可使x,e的不等式成立

       4定义1 和 定义2之间的区别

1)      定义1中函数是在一个区间中有定义，定义2中的函数是大于某个正数时有定义

2)      定义1 趋于某个值的极限，定义2 趋于无穷大的极限