随机过程性质的定义

随机过程的基本性质

随机过程的概率分布

在任何一个时间$t$，随机过程$\mathbf{X}(t)$都是一个随机变量，我们用如下分布来表示
$$F(x,t)=P\{\mathbf{X}(t)\le x\}$$
这个函数是与时间$t$相关的，它表示，综合考虑所有可能的$\zeta$时，随机过程的一个样本在$t$时刻的取值$\mathbf{X}(t,\zeta )$不超过$x$的概率。 $F(x,t)$是一阶分布函数，对应的一阶密度函数则为
$$f(x,t)=\frac{\partial F(x,t)}{\partial x}$$

用频率近似的解释
如果一个实验重复了$n$次数，那么我们会观测到$n$个函数$\mathbf{X}(t,{\zeta }_i)$。用$n_t(x)$表示在所有的函数中，$t$时刻取值不大于$x$的个数，那么就有
$$F(x,t)\approx \frac{n_t(x)}{n}$$

类似的，二阶的分布函数为：
$$F(x_1,x_2;t_1,t_2)=P\{\mathbf{X}(t_1)\le x_1,\mathbf{X}(t_2)\le x_2\}$$
其对应的二阶密度函数为
$$f(x_1,x_2;t_1,t_2)=\frac{{\partial }^{2}F(x_1,x_2;t_1,t_2)}{\partial x_1\partial x_2}$$

这里我们有一个结论

1. $F(x_1;t_1)=F(x_1,\infty ;t_1,t_2)$
2. $f(x_1;t_1)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x_1,x_2;t_1,t_2)d{x}_2$

类似的我们也可以定义$n$阶的分布函数和密度函数

均值、方差、自相关函数

均值$\eta (t)$是随机过程在$t$时刻的数学期望
$$\eta (t)=\mathbb{E}\{\mathbf{X}(t)\}={\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x,t)dx$$
自相关函数
$$R(t_1,t_2)=\mathbb{E}\{\mathbf{X}(t_1)\mathbf{X}(t_2)\}={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}_1{x}_{2}f(x_1,x_2;t_1,t_2)d{x}_{1}d{x}_2$$

$t=t_1=t_2$时，自相关函数就变成了平均功率，也是随机变量的二阶矩
$$\mathbb{E}\{{\mathbf{X}}^2(t)\}=R(t,t)$$

自协方差函数
$$C(t_1,t_2)=R(t_1,t_2)-\eta (t_1)\eta (t_2)$$

$t=t_1=t_2$时，自协方差函数就变成了随机变量的方差

平稳性

随机过程的概率密度函数、分布函数、均值、自相关函数等都是与时间有关的函数。一般来说，如果某个过程的概率密度函数或统计量与时间的起点无关，则此过程为平稳随机过程，反之则为非平稳随机过程。所谓的“与时间起点无关”，即$t_1,t_2,...$时刻的统计特性与将这些时刻同时移动$\Delta t$后得到的新时刻$t_1+\Delta t,t_2+\Delta t,...$上的统计特性一样。
如果有
$$f(x,t)=f(x,t+\Delta t)$$
则该过程为一阶平稳过程，类似的如果有
$$f(x_1,x_2;t_1,t_2)=f(x_1,x_2;t_1+\Delta t,t_2+\Delta t)$$
则该过程为二阶平稳过程，类似可以定义$n$阶平稳过程。

如果随机过程是$n$阶平稳的，那么也一定是$m(\le n)$阶平稳的。

如果一个随机过程对任意正整数$n$都是$n$阶平稳的，那这个随机过程是严平稳过程，也叫狭义平稳或强平稳。

如果一个随机过程$\mathbf{X}(t)$只满足下面两个条件

1. $\mathbb{E}\{\mathbf{X}(t)\}=\mathbb{E}\{\mathbf{X}(t+\Delta t)\}$
2. $R(t_1,t_2)=R(t_1+\Delta t,t_2+\Delta t)$

那么它是一个广义平稳过程。对于一个广义平稳过程，其自相关函数只与两个取样点的时间差有关，也就会将 $R(t_1,t_2)$写成$R(t_1-t_2)$或者$R(\tau )$，这里$\tau =t_1-t_2$。