Structured Learning和Structured SVM的学习（上）

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以前就听说过Structured Learning，但只知道其大体的概念。听师兄说现在用的挺多的，于是前一段时间断断续续的看了有关这方面的一些资料，在此总结一下。

在利用机器学习方法建模时，我们往往是寻找一个映射函数 f：X -> Y，将输入X 映射为输出Y。输入X的形式是多种多样的，但在“常规”的机器学习方法中，输出Y是一个number或者一个label，比如分类、回归、分布密度估计的各种方法。而Structured Learning中，Y不再局限在一个number，而可以是complex structured object，比如说是一副image，一个image region，一个label sequence，或是parse tree 等等。个人感觉，structured learning使我们能更加直接的解决问题，它提供了一种框架是我们能直接得到具体问题中想要的输出。理论上，感觉你可以把任何输出都作为一种结构。

在Structrued Learning中，主要涉及两个任务：Inference Task和Learning Task。Learning Task 就是根据训练集合(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，学习一个模型，这其中，模型往往是一个参数化模型，因此Learing的过程就是确定参数的过程。Inference Task就是在训练好模型后，根据给定的输入X，预测一个最佳的输出Y。Structured Learning 具有多种方法，其中很重要的一类方法是基于概率图模型的方法，尤其是无向图模型，将structured learning的问题转换为图模型中的基本问题。还有一类方法就是Large Margin Method for Structured Learning，也就是structured svm，是传统svm方法的一种扩展，现在structured svm 已经有了比较成熟的算法实现框架。下面谈一下对structured svm 的一些理解。

• 损失函数与经验损失最小化
  

在structured svm中，我们的目标寻找一个discriminant function F:X×Y→R。在discriminant function确定后，给定一个输入值x，选择能最大化F的值Y作为输出，即hypotheses f为如下形式：

f(x;w)=argmaxy∈YF(x,y;w)

其中，w表示一个参数向量。可以把F理解为一个度量（x,y）兼容程度或者花费大小的函数（实际上，在基于图模型的CRF方法中，F(x,y;w)=p(y|x;w)）。同时，我们进一步将F表示为： F(x,y;w)=⟨w,ψ(x,y)⟩ ，将 ψ(x,y)理解为是输入输出对的特征表示，其具体形式依赖于具体的问题。

为了量化预测的准确性，我们还需要定义一个损失函数（loss function）Δ:Y×Y→R。损失函数满足：当Missing open brace for superscript时，Missing open brace for superscript；当Missing open brace for superscript时，Missing open brace for superscript。给定一组训练集S，f(x;w)的性能可以通过经验损失函数来度量

RΔS=1n∑i=1nΔ(yi,f(xi))

不同的f(x;w)对应着不同的经验损失，我们的目标是使经验损失越小越好。

• 经验损失为零的情况

首先，考虑存在函数f，使得经验损失为零的情况。这种情况出现时，说明满足以下非线性限制

∀i∈{1,...,n}:maxy∈Y∖yi{⟨w,ψ(xi,y)⟩}≤⟨w,ψ(xi,yi)⟩

可以将上面的n个非线性限制转换为n|Y|-n个线性限制，即

∀i∈{1,...,n},∀y∈Y∖yi:⟨w,δψi(y)⟩≥0

其中， δψi(y)≡ψ(xi,yi)−ψ(xi,y)。

假设这些限制是可解的，那么一般情况下，可行解w∗不唯一（可能解得多个解，并且w也可以放缩）。为了得到唯一的解，我们选择能使separation margin（最小的⟨w,δψi(y)⟩）最大的w，并且限制w的长度。即可以表示为如下优化问题：

maxr,w:||w||=1rs.t.∀i∈{1,...,n},∀y∈Y∖yi:⟨w,δψi(y)⟩≥r

到此为止，这个优化问题已经是SVM中优化问题的形式了，因此可以进一步地转换为一个凸二次优化问题的形式：

minw12||w||2s.t.∀i,∀y∈Y∖yi:⟨w,δψi(y)⟩≥1

至此，我们就可以求解这个优化问题，解得w∗，找到最后的f(x;w∗)了。但是，现在还存在着两个问题：第一，满足约束的可行解可能不存在，就是说无法找到完全满足训练集中的样例，使经验损失为零的模型。第二，这上述优化问题中，约束条件的个数太多了（n|Y|-n个）！即使可行解存在，我们也需要找到一种代价合理的方法来求解。关于这两个，还是规整下记录到下一篇里吧。