100道动态规划——39 hihoCoder 1475 数组拆分 前缀和 DP

#1475 : 数组分拆

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Description

小Ho得到了一个数组作为他的新年礼物，他非常喜欢这个数组！

在仔细研究了几天之后，小Ho成功的将这个数组拆成了若干段，并且每段的和都不为0！

现在小Ho希望知道，这样的拆分方法一共有多少种？

两种拆分方法被视作不同，当且仅当数组断开的所有位置组成的集合不同。

Input

每组输入的第一行为一个正整数N，表示这个数组的长度

第二行为N个整数A1~AN，描述小Ho收到的这个数组

对于40%的数据，满足1<=N<=10

对于100%的数据，满足1<=N<=105, |Ai|<=100

Output

对于每组输入，输出一行Ans，表示拆分方案的数量除以(109+7)的余数。

Sample Input

5
1 -1 0 2 -2

Sample Output

5

        显然n^2算法是过不了的。。但是我连n^2算法都没有想出来。。。。

        n^2算法是这样的，定义状态dp[i]表示目前考虑到数组的第i位且合法的方案数，定义数组sum[i,j]表示数组下标从i~j的元素之和

        因此dp[i]=∑dp[j] (j

        这个是正确性是显然的，只要sum[j,i]不等于0的话，就可以沿用之前的方案

        优化到O(n)的做法是使用前缀和

        对sum[j,i]进行变形，左右两边同时加上sum[0,j-1]，这就变成了sum[0,i]!=sum[0,j-1]，这就是前缀和

        定义一个map表示每种前缀和对应的方案数，用一个tot来表示所用的方案总数，于是dp[i]就可以通过tot-map[sum[0,i]]直接计算出来，这样计算完之后同时更新map[sum[0,i]]和tot。

        实际上sum数组是不需要的，因为我们是从前向后计算，且每一次只需要上一次的值，因此实际上用一个变量存储当前的前缀和即可

        PS：本来我是压在一行里写的，但是为了方便你们看，我特意换行了，注意for循环每句话的后面是逗号

#include 
#include 
#include 
#include