线性时不变系统（LTI）对复指数信号的响应（数字信号处理的特征值与特征函数）

目录

序言

一类重要的基本信号

线性时不变系统对复指数信号的响应

特征函数以及特征值定义：

证明复指数信号是LTI系统的特征函数

简单运用上述性质

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序言

复指数信号有相比于其他信号优良的性质，这使得其在数字信号处理以及信号与系统中（统称为信号处理）具有不一般的低位，例如复正弦信号

它不仅是离散信号做傅里叶变换时的基函数，同时也是线性时不变系统的特征信号。

看了一下内容后，你就会懂得上面的描述！

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一类重要的基本信号

在研究线性时不变系统时，将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的，这些基本信号应该满足下面的两个性质：

1、由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号；

2、线性时不变系统对每一个基本系统的响应应该十分简单，以使系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表达式。

那什么样的基本信号满足上面的条件呢？

由傅里叶分析可知，连续和离散时间复指数信号集都具有上述两个性质，即连续时间的和离散时间的，其中s和z都是复数。

线性时不变系统对复指数信号的响应

基于如下事实：

一个线性时不变系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是幅度上的变化。

连续以及离散时间复指数信号的响应分别是：

其中，是复振幅因子，一般来说是复变量s以及z的函数，但是对于变量t来说，它等价于一个常数。

这就说明了，复指数信号经过线性时不变系统的响应是它本身，即同样也是一个复指数信号，只不过幅度上有所变化。

特征函数以及特征值定义：

一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则称该信号为系统的特征函数（eigenfunction），而幅度因子称为系统的特征值（eigenvalue）。

证明复指数信号是LTI系统的特征函数

下面证明复指数信号确实是LTI系统的特征函数，也就是说复指数信号作为LTI系统的激励，其响应也是复指数信号。

手稿：

首先是连续复指数信号，求其经过线性时不变系统的输出，假设线性时不变系统的系统函数为

这就证明了连续复指数信号是LTI系统的特征函数，而常数就是与特征函数有关的特征值。

下面证明离散复指数信号是LTI系统的特征函数：

同样证明了离散复指数信号是LTI系统的特征函数，常数H(z)是与特征函数有关的特征值。

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简单运用上述性质

既然，复指数信号作为LTI系统的输入，其输出有这么简便的表示方法，真是造福科学呀！

我们不禁设想如果一个信号都可以表示成复指数信号，那么其输出岂不很简单？事实上也是如此，但多大范围的信号可以用复指数的线性组合来表示呢？

（我们将由这个思路来引出下一篇博文，周期信号的傅里叶级数表示，任意一个周期信号还真能表示成复指数信号的组合形式！）

下面以手稿的形式，展示上面叙述的简单运用（模拟情况）：

离散的情况如下：

这其中的都是复数。

这就说明：

对于连续时间以及离散时间来说，如果一个线性时不变系统的输入能够表示成复指数信号的线性组合，那么系统的输出也能够表示成相同复指数信号的线性组合；并且在输出表示式中的每一个系数可以用输入中响应的系数分别与特征函数有关的系统特征值相乘来求得。