线性时不变系统(LTI)对复指数信号的响应(数字信号处理的特征值与特征函数)

目录

序言

一类重要的基本信号

线性时不变系统对复指数信号的响应

特征函数以及特征值定义:

证明复指数信号是LTI系统的特征函数

简单运用上述性质


序言

复指数信号有相比于其他信号优良的性质,这使得其在数字信号处理以及信号与系统中(统称为信号处理)具有不一般的低位,例如复正弦信号x[n]=e^{jwn}=coswn+jsinwn

它不仅是离散信号做傅里叶变换时的基函数,同时也是线性时不变系统的特征信号。

看了一下内容后,你就会懂得上面的描述!



一类重要的基本信号

在研究线性时不变系统时,将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的,这些基本信号应该满足下面的两个性质:

1、由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号;

2、线性时不变系统对每一个基本系统的响应应该十分简单,以使系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表达式。

那什么样的基本信号满足上面的条件呢?

由傅里叶分析可知,连续和离散时间复指数信号集都具有上述两个性质,即连续时间的e^{st}和离散时间的z^{n},其中s和z都是复数。

线性时不变系统对复指数信号的响应

基于如下事实:

一个线性时不变系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号,不同的只是幅度上的变化。

连续以及离散时间复指数信号的响应分别是:

线性时不变系统(LTI)对复指数信号的响应(数字信号处理的特征值与特征函数)_第1张图片

其中,H(s),H(z)是复振幅因子,一般来说是复变量s以及z的函数,但是对于变量t来说,它等价于一个常数。

这就说明了,复指数信号经过线性时不变系统的响应是它本身,即同样也是一个复指数信号,只不过幅度上有所变化。

特征函数以及特征值定义:

一个信号,若系统对该信号的输出响应仅是一个常数(可能是复数)乘以输入,则称该信号为系统的特征函数(eigenfunction),而幅度因子称为系统的特征值(eigenvalue)。

证明复指数信号是LTI系统的特征函数

下面证明复指数信号确实是LTI系统的特征函数,也就是说复指数信号作为LTI系统的激励,其响应也是复指数信号。

手稿:

首先是连续复指数信号x(t)=e^{st},求其经过线性时不变系统的输出,假设线性时不变系统的系统函数为h(t)

线性时不变系统(LTI)对复指数信号的响应(数字信号处理的特征值与特征函数)_第2张图片

这就证明了连续复指数信号e^{st}是LTI系统的特征函数,而常数H(s)就是与特征函数e^{st}有关的特征值。

下面证明离散复指数信号x[n]=z^{n}是LTI系统的特征函数:

线性时不变系统(LTI)对复指数信号的响应(数字信号处理的特征值与特征函数)_第3张图片

同样证明了离散复指数信号z^{n}是LTI系统的特征函数,常数H(z)是与特征函数z^{n}有关的特征值。



简单运用上述性质

既然,复指数信号作为LTI系统的输入,其输出有这么简便的表示方法,真是造福科学呀!

我们不禁设想如果一个信号都可以表示成复指数信号,那么其输出岂不很简单?事实上也是如此,但多大范围的信号可以用复指数的线性组合来表示呢?

(我们将由这个思路来引出下一篇博文,周期信号的傅里叶级数表示,任意一个周期信号还真能表示成复指数信号的组合形式!)

下面以手稿的形式,展示上面叙述的简单运用(模拟情况):

线性时不变系统(LTI)对复指数信号的响应(数字信号处理的特征值与特征函数)_第4张图片

离散的情况如下:

线性时不变系统(LTI)对复指数信号的响应(数字信号处理的特征值与特征函数)_第5张图片

这其中的s_{k},z_{k}都是复数。

这就说明:

对于连续时间以及离散时间来说,如果一个线性时不变系统的输入能够表示成复指数信号的线性组合,那么系统的输出也能够表示成相同复指数信号的线性组合;并且在输出表示式中的每一个系数可以用输入中响应的系数a_{k}分别与特征函数e^{s_{k}t},z_{k}^{n}有关的系统特征值H(s_{k}),H(z_{k})相乘来求得。

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