01背包空间优化

参考 http://www.2cto.com/kf/201301/184347.html
条件
1 每件物品的体积为w1, w2……wn
2 相对应的价值为 v1, v2.……vn
3 01背包是在n件物品取出若干件放在空间为total_weight的背包里，使得背包的总体积最大

01背包没优化的版本

for (int i = 1; i <= n; i++) {  
  for (int j = 1; j <= total_weight; j++) {  
    if (w[i] > j) {  
      c[i][j] = c[i-1][j];  
    } else {  
        if (c[i-1][j] > v[i]+c[i-1][j-w[i]]) {  
          c[i][j] = c[i-1][j];  
        }  
        else {  
          c[i][j] =  v[i] + c[i-1][j-w[i]];  
        }  
    }  
  }  
}

注意到状态转移方程

 c[i][j] = max{c[i-1][j], c[i-1][j-w[i]]+v[i]} 

每一次c[i][j]改变的值只与c[i-1][x] {x:1...j}有关c[i-1][x]是前一次i循环保
存下来的值，因此，可以将c缩减成一维数组状态转移方程转换为

c[j] = max(c[j], c[j-w[i]]+v[i]);

并且，我们注意到状态转移方程，每一次推导c[i][j]是通过c[i-1][j-w[i]]来推导的，而不是通过c[i][j-w[i]]。因此，j的扫描顺序应该改成从大到小。否则，第i次求c数组，必然先求的c[j-w[i]]的值(即c[i][j-w[i]])，再求c[j] (即c[i][j])的值，由于j递增,那么状态方程就成为下面这个样子了

c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-w[i]]+v[i])

显然不符合题意所以，上面的代码变为

for (int i = 1; i <= n; i++) {  
   for (int j = total_weight; j >= 1; j--) {  
     if (w[i] > j) {  
       c[j] = c[j]; //表示第i次与第i-1次相等，这里因为c[j]本来就保存这上一次的值，所以这里不需变化  
     } else {  
       //说明第i件物品的重量小于背包的重量，所以可以选择第i件物品放还是不放  
         if (c[j] > v[i]+c[j-w[i]]) {  
           c[j] = c[j];  
         }  
         else {  
           c[j] =  v[i] + c[j-w[i]];  
         }  
     }  
   }  
 }  

把不必要的语句去掉即可完成优化

for (int i = 1; i <= n; i++) {  
  for (int j = total_weight; j >= w[i]; j--) {  
    if (c[j] <= v[i] + c[j-w[i]])  
      c[j] = v[i] + c[j-w[i]];  
  }  
}  

最后关于j的扫描顺序改为从大到小的图解。

动态规划.png

假设现在需要求i件物品时c[10] (即j=10)的值显然它是需要i-1时的c[10]和c[9]去推导出并将求得的值赋值给c[10],从图中不难看出当j的有小到大顺序时是有问题的。因为推导c[10]所需的c[9]因为第i-1件物品下的c[9],显然这种情况下的c[9]并不是第i-1件物品时所对应的c[9]的值与转移方程矛盾。