图论（5）邻接谱，邻接代数，图空间，托兰定理

目录

一、邻接谱、邻接代数与图空间

（一）图的邻接谱

1、图的邻接谱定义

2、邻接谱的两个性质

（二）、图的邻接代数

1、图的邻接代数的定义

2、图的邻接代数的维数特征

（三）、图空间

二、托兰定理

（一）、l部图的概念与特征

    完全l部图

    n阶完全l几乎等部图

    定理5  完全l部图边数极大

（二）、托兰定理

1、度弱于的定义

     托兰定理的引理

     托兰定理

（三）、托兰定理的应用

   工兵排雷问题

---

一、邻接谱、邻接代数与图空间

（一）图的邻接谱

1、图的邻接谱定义

    图的邻接矩阵A（G）的特征值及其重数，称为G的邻接谱。

    为什么长这样？哪个是特征值哪个是重数？

    邻接谱的第一行是特征值，第二行是特征值对应的重数。

    同谱图定义：若两个非同构的n阶图具有相同的谱，则称它们是同谱图。

    

2、邻接谱的两个性质

    

    s是特征值个数

   

   

    

    用简单图的点数和边数估计了模的上界

（二）、图的邻接代数

图的邻接代数是一个向量空间，它是以邻接矩阵的多项式为元素构成的复数域上的向量空间。

1、图的邻接代数的定义

    

    邻接矩阵是针对无环图定义的。

2、图的邻接代数的维数特征

      

     

     不等式的界是紧的，意味着不可修改。

（三）、图空间

    

二、托兰定理

极值图论的早期结果

（一）、l部图的概念与特征

    

    很明显偶图就是2部图呀

    完全l部图

    

    完全l部图的总边数是各个部的边数两两相乘的和

    n阶完全l几乎等部图

    

    可以看到完全l几乎等部图一共有l个部，各个部的顶点数要么为k要么为k+1,即只相差1，几乎是相等的，

    一共有r个顶点数为k+1的部，剩下的是顶点数为k的部。所以总顶点数为（k+1）*r+k（l-r）=kl+r

    如果每个部的顶点数都为k，那就不是完全l几乎等部图了，那就是完全l等部图。

    定理5  完全l部图边数极大

    ，全等符号代表同构。

     一个n阶l部图，当它同构于完全l几乎等部图的时候，图中边数最多。

（二）、托兰定理

1、度弱于的定义

       

       如果有G中点到H中点的一一对应，且刚好G中的点的度小于等于对应的H中的点的度，则称G度弱于H，或H度优于G

       且G度弱于H，则G的边数一定小于等于H的边数

     托兰定理的引理

       

     托兰定理

       

       托兰定理指出，不含l+1阶完全图的极值图是完全l几乎等部图，开启了极值图论研究的先河！

（三）、托兰定理的应用

   工兵排雷问题

    

    

     

    这就跟托兰定理联系起来了。当且仅当距离大于1/根号2，两点之间才连线，即这样的图连线越多，

    安全的人就越多，即图论的极值问题，求边最多的情况。

    

    4=3+1，所以边数最多的情况是完全3几乎等部图