关于字典树节点数组大小问题

问题描述

对于分支数为$w$的字典树(前缀树)，插入$n$个字符串，每个字符串长度最大$m$，那么字典树节点数组需要开多大合适？（使用静态开辟空间，排除vector等动态开辟空间的方法）

结论

令$k=\lfloor lo{g}_{w}n\rfloor$，那么数组大小$totle=w(w^k-1)/(w-1)+(m-k)\ast n\le \frac{w\ast (n-1)}{w-1}+(m-k)\ast n$

这个可能有些复杂， 我们开数组大小一般也不会这样再计算一下。

其实一般我们把数组大小开到$m\ast n$个即可，显而易见这个大小是足够的，假设在最坏的情况下，我们再坏一些，这些字符串的每个前缀都不同，那么都占用一个节点，这样的不同的前缀的个数是$m\ast n$（但是都不会这么大）。

证明

我们的数组大小必须能够在最坏情况下足够使用。最坏情况下我们假设每个字符串的长度都是最长的m，因为两个前缀相重复的越多，那么就会省下的空间就越多，所以我们尽量让这些字符串的前缀不同。

因为有n个字符串，假设这n个字符串都不相同，那么形成的字典树叶子节点的个数就是n。

最坏情况下，我们形成的字典树会有这样一个特征：存在一个深度k，使得深度$[1,k]$ 的都是满叉（根节点的深度是0），且深度$[k+1,m]$中每层的节点数量都是$n$。（因为长度为$x$情况下，不同的前缀数量最多为$min(n,w^x)$个）

不难理解$k$是满足条件$w^k\le n$下的最大值，故$k=\lfloor lo{g}_{w}n\rfloor$，故总结点数量$totle=w+w^2..+w^k+(m-k)\ast n$

化简可得

$totle=w(w^k-1)/(w-1)+(m-k)\ast n\le \frac{w\ast (n-1)}{w-1}+(m-k)\ast n$