施密特正交化（Gram–Schmidt process）

在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够张成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram-Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。

先来看下 k = 2 时的情况，此时，v₁=w₁。因为我们想得到一个与v₁相垂直的向量v₂，于是可以让w₂向v₁的方向上做投影。即，如下图所示。

此时，。当 k = 3 时，v₁和v₂的找法就按照前面所示的过程来执行。如下图所示我们已经找到了两个垂直的基底v₁和v₂，下面来设法找到v₃。如下图所示，a是w₃在v₁方向上的投影，b是是w₃在v₂方向上的投影，显然v₃=w₃-(a+b)=w₃-a-b。

按照此过程继续下去，当k = n时，前n-1个彼此垂直的向量v₁,...,v_k-1已经构造完成，为了找到向量v_k，我们将w_k向v₁,...,v_k-1分别做投影，得到u₁,...,u_k-1，显然 v_k = w_k - u₁ - ... - u_k-1。这也就是所谓的“施密特正交化”。

施密特正交化过程告诉我们，对于一个有限维的空间，我们一定可以找到一组彼此垂直的基底。当我们得到这样一组基底后，还可以对它们进行归一化，便可得到orthonormal的基底。也就是说对于一个有限维的空间，一定存在一组orthonormal的基底。更加正式地，我们可以用下面的定理来表述。

（本文完）