图论（4）邻接矩阵，关联矩阵

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一、图的代数表示

（一）图的邻接矩阵

1.邻接矩阵定义

2.邻接矩阵性质

（二）图的关联矩阵

1.定义

2.关联矩阵的性质

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一、图的代数表示

一个图可以用定义描述，图形表示和代数表示，代数表示即用邻接矩阵或关联矩阵表示。

（一）图的邻接矩阵

1.邻接矩阵定义

    

     

2.邻接矩阵性质

（1）非负性与对称性

         邻接矩阵中的元素都是非负的，且关于主对角线对称。

（2）同一图的不同形式的邻接矩阵是相似矩阵

         

         同一图的不同形式或许是指同一个图，但是对于点的排序不一样

（3）如果G为简单图，则A（G）是布尔矩阵，其中行和（列和）等于对应顶点的度数，矩阵元素总和为图的总度数，即图中边数的两倍。

（4）G连通的充分必要条件是，A（G）不能与如下矩阵相似

                                   

         因此，非连通图的邻接矩阵一定能够写成准对角阵形式。

（5），

         

         

          这里的幂次明显是通过矩阵乘法来实现的。这里拿a11再举个例子，A*A矩阵中，a11代表从v1到v1的途径长度为2的

         途径的条数。这里有e1e1, e2e2,e3e3,e2e3,e3e2一共五条长度为2的途径，所以a11等于5一点没错，哈哈

                    

           进一步地，如果G是简单图，则有如下推论：

                     

（二）图的关联矩阵

1.定义

                    

        关联矩阵是通过点和边共同定义的，即我们不但要给点编序号，给边也要编序号，而邻接矩阵只需要给点编号就行了。

        邻接矩阵肯定是方阵，关联矩阵的尺寸是点数乘以边数

2.关联矩阵的性质

（1）关联矩阵的元素为0或1或2

（2）关联矩阵每列和为2，因为一条边一定跟两个顶点关联

         关联矩阵每行和为对应顶点的度数。