[leetcode 96] 不同的二叉搜索树 (python+动态规划/卡塔兰数）

题目描述

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees

解题思路

方法一：动态规划

给定一个有序序列1···n，为了构建出一棵二叉搜索树，可以遍历每个数字i，将该数字作为树根，将1···$(i-1)$作为左子树，将$(i+1)\cdot \cdot \cdot n$序列作为右子树。然后按照相同方式递归构建左子树和右子树。因为构建的每一个二叉树的根节点都不同，所以每棵树都是唯一的。所以原问题可以分解成规模较小的两个子问题，子问题的解可以复用，适合于动态规划问题求解。

定义两个函数：

1. $G(n)$：长度为$n$的序列能构成的不同二叉搜索树的个数。
2. $F(i,n)$：以$i$为根、序列长度为$n$的不同二叉搜索树个数$(1\le i\le n)$。

不同的二叉搜索树的总数$G(n)$，是对遍历所有$i(1\le i\le n)$的$F(i,n)$之和。即：
$$G(n)=\sum _{i=1}^{n}F(i,n)$$
对于边界情况，当序列长度为1（只有根）或者为0（空树）时结果为1。

给定序列$1\cdot \cdot \cdot n$，我们选择数字$i$作为根，则根为$i$的所有二叉搜索树的集合是左子树集合和右子树集合的笛卡尔积，对于笛卡尔积中的每个元素，加上根节点之后形成完整的二叉搜索树。

而且$G(n)$和序列的内容是无关的，之和序列的长度有关。故得到：
$$F(i,n)=G(i-1)\cdot G(n-i)$$
比如$F(3,7)=G(2)\cdot G(4)$

所以可以得到递归表达式：
$$G(n)=\sum _{i=1}^{n}G(i-1)\cdot G(n-i)$$
然后从小到大计算G函数即可。

• 复杂度分析：
  时间复杂度：$O(n^2)$，$n$表示二叉搜索树的结点个数。一共有n个值要求，每次求需要$O(n)$时间复杂度。
  空间复杂度： $O(n)$。用来存储G数组。

方法二：数学法

方法一种推导出的公式$G(n)$在数学上被称为卡塔兰数$C_n$。其计算公式为：
$$C_0=1,C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}{C}_n$$

• 复杂度分析：
  时间复杂度：$O(n)$，只要循环遍历一次即可。
  空间复杂度： $O(1)$。

代码实现

方法一：动态规划

class Solution(object):
    def numTrees(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        res = [0] * (n+1)
        res[0], res[1] = 1, 1

        for i in range(2, n+1):
            for j in range(1, i+1):
                res[i] += res[j-1] * res[i-j]
        
        return res[n]

方法二：数学法

class Solution(object):
    def numTrees(self, n):
        C = 1
        for i in range(0, n):
            C = 2*(2*i+1)/(i+2) * C
        return int(C)

Tips

1. 不是常见的动态规划状态转移方程，多积累不同的形式；
2. 多积累数学结论。

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$$Author:Chier$$