[OO] JML系列 优化及时间复杂度可行性证明

JML系列 优化及时间复杂度可行性证明

符号定义

符号	意义	上限
$p$	网络中Person数量	800
$r$	网络中关系数量	3000
$q_s$	查询queryStrongLinked数量	20
$q_r$	查询queryNameRank数量	1000
$q_b$	查询queryBlockSum数量	3000
$q_a$	查询queryAgeSum数量	3000
$q_m$	查询queryMinPath数量	3000

优化方法与复杂度分析

queryBlockSum

并查集

• 由于不需要删除操作，故采用并查集实现
• 并查集单次操作的均摊复杂度为$O(\alpha (n))$，其中$\alpha$为一个Ackerman函数相关的，这里可以认为小于常数$4$
• 每次查询时需遍历每个Person，时间复杂度$O(\alpha p)$
• 动态维护加边的复杂度$O(\alpha r)$
• 总时间复杂度$O(\alpha p{q}_b+\alpha r)$上限小于$1\times 10^7$，稳妥

bfs/dfs

• 考虑到有同学使用bfs实现qbs，故补充对其时间复杂度的讨论
• 做法大致为 从每个Person作为入口进行Floodfill，对于已经有标记的不再进入，没有标记的则将所有连通的节点做一个新标记，最后统计标记的数量
• 时间复杂度$O(q_b(p+r))$，上限小于$1\times 10^7$，稳妥

queryAgeSum

• 采用直接暴力枚举Person进行计数的方法
• 时间复杂度为$O(q_{a}p)$，上限$2.4\times 10^6$，稳妥

queryNameRank

• 采用每次查询直接暴力统计的方法
• 时间复杂度$O(q_{r}p)$，上限$8\times 10^5$，稳妥

queryMinPath

• 采用堆优化Dijkstra算法，因为不需要处理负环
• 单次单源最短路径时间复杂度$O((p+r)logr)$
• 总体时间复杂度为$O(q_m(p+r)logr)$，上限较大，但由于总指令数限制，还满足关系$q_m+p+r\le 3000$，求极值可估计真实复杂度上限小于$2.5\times 10^7$
• 注意此题不写堆优化上限可达$1\times 10^9$大概率被卡
• 另外spfa已死，不卡是情分，卡是本分，参考NOI2018Day1T1，这本来也是一种及其不稳定的算法

queryStrongLinked

暴力枚举

• 这种做法需要两步bfs/dfs
• 第一次判断连通后，枚举去掉所有割点再次bfs判断是否仍然联通，如果都能联通，说明这两个点点双连通
• 这里的枚举割点是准确条件，但实现的时候如果不想再写一个找割点的算法（还是Tarjan），可以用枚举所有点替代
• 第二次bfs采用MASK的方法加速，不需要修改原图
• 总时间复杂度$O(q_{s}p(p+r))$时间复杂度上限可达$4.8\times 10^7$，应该能过，但有些小小的危险，如果具体实现太丑有可能被卡常，不过相信课程组是善良的
• 【更新20200515-10:46】 各位大佬所说的两次bfs/dfs的方法是有巨大bug的，MASK第一次的路径有可能把第二次的路径堵了，但第一次的路径如果换一条，就不会堵第二次的路径，建议不要使用这种方法 建议不要使用这种方法 建议不要使用这种方法，另外，上述$4.8\times 10^7$的复杂度课程组很善良！

点双连通分量

• 大致思路采用Tarjan找点双连通分量，再判断两个点是否具有相同编号（只是大致思路）
• 单次Tarjan就是dfs的复杂度$O(p+r)$
• 判断是否双连通复杂度$O(p)$
• 时间复杂度$O(q_s(2p+r))$上限小于$1\times 10^5$，稳妥
• 需要注意这种做法一定要多做测试！！！

其他

• 前两次作业的此处省略，没必要写的也省略
• 如有错误还请指正