[ACM] 树/图上经典题

poj 3694 Network

题意：给你一个无向连通图，然后q次操作，每次在图上添加一条边，每添加一条边，输出一次图上桥的数量。点数1e5，边数2e5，q为1e3。

看完题，发现做这道题需要先掌握tarjan算法。显然，整个图可以分解为多个边双连通分量组成的一个树，那么桥的个数就是树的边数。对于每次操作，如果添加的边连接了同一个边双连通分量中的两个点，则不会改变树的结构，所以，问题转化成为了添加的边连接了不同边双连通分量中的两个点u和v，应该怎么办。注意到边双连通分量组成了一棵树，连接u和v之后，必然形成一个环，显然，新形成的环导致了一个新的边双连通分量产生，也就是说，原来的几个双连通分量，融合成了一个双连通分量，或者说原来树上的几个点，缩成了一个新的点。那么新的点是原来树上的哪些点形成的呢？在纸上画一画就能发现，新的点由原来u到v的路径上的所有点形成。至此，问题简化成为了：给你一棵树，每条边边权初始为1，每次操作将树上一条路径上的所有边，边权置为0，然后求整棵树的边权和。

简化完之后，有两种做法。第一种是显而易见的树链剖分，但树链剖分代码繁琐，此处建议使用第二种做法：

由于缩点是不可逆的，也就是说对于某些点，一旦将它们缩成了一个新点，那么这些点就绝不会再访问到了。对应到简化的问题中，一旦将某条路径上所有边的边权置为0，那么之后计算整棵树的边权和的时候，就再不用考虑这些点了。因此我们有一个做法，每次操作u到v的路径时，先计算u到v的lca，然后暴力地把u到v路径上的所有边边权置为0，同时每访问到路径上的一个点，将这个点的父节点指向lca(u, v)，因为如之前所述，这些点不会再被用到了。

最后计算第二种做法的时间复杂度，求边双连通分量时间O(n + m)，之后的操作，求lca建议使用暴力做法，由于一个点至多被访问一次，因此时间复杂度为O(n)，总时间复杂度O(n + m)。