算法竞赛进阶指南——兔子与兔子【哈希】

题目描述

很久很久以前，森林里住着一群兔子。有一天，兔子们想要研究自己的 DNA 序列。我们首先选取一个好长好长的 DNA 序列（小兔子是外星生物，DNA 序列可能包含 26 个小写英文字母），然后我们每次选择两个区间，询问如果用两个区间里的 DNA 序列分别生产出来两只兔子，这两个兔子是否一模一样。注意两个兔子一模一样只可能是他们的 DNA 序列一模一样。

输入

第一行一个 DNA 字符串 S。
接下来一个数字 m，表示 m 次询问。
接下来 m 行，每行四个数字 l1, r1, l2, r2，分别表示此次询问的两个区间，注意字符串的位置从1开始编号。
其中 $1\le length(S)m\le 1000000$

输出

对于每次询问，输出一行表示结果。如果两只兔子完全相同输出 Yes，否则输出 No（注意大小写）

样例输入

aabbaabb
3
1 3 5 7
1 3 6 8
1 2 1 2

样例输出

Yes
No
Yes

题解：

1.字符串哈希
就是把字符串通过特定的哈希方式转换为一个哈希值，这样既可以压缩空间，也可以方便快速地比较字符串是否相等。当然，字符串哈希和其他哈希一样，无法避免不同的字符串哈希成同一个哈希值，虽然无法避免，但是我们可以想办法把其概率缩小
2.求前缀哈希值
(1).对于一个字符串S，长度为n，下标从1开始，对其字符S[i]，我们将其转 换为数字，我们既可以使用$(S[i]–‘a’+1)$，也可以直接使用其ASCII值
(2).记$Hash[i]$表示$S[1,i]$的哈希值。
公式为：$Hash[i]=Hash[i–1]\ast base+S[i]$
当$base$是质数，冲突的概率是很小的。
3.求子串哈希值
假设我们要求子串S[3, 4]的哈希值，通过哈希公式我们可以得到其哈希值为S[3] * base + S[4]
观察Hash数组：
$Hash[1]=S[1]$
$Hash[2]=S[1]\ast base+S[2]$
$Hash[3]=S[1]\ast bas{e}^2+S[2]\ast base+S[3]$
$Hash[4]=S[1]\ast bas{e}^3+S[2]\ast bas{e}^2+S[3]\ast base+S[4]$

我们尝试用$Hash[4]–Hash[2]$来消掉$S[1]$ 和 $S[2]$，但是发现$base$的阶数不对，无法消除，所以我们需要给$Hash[2]$乘一个系数
$Hash[4]-Hash[2]\ast bas{e}^{4-2}=S[3]\ast base+S[4]$
公式为：$Hash(l,r)=Hash(r)-Hash(l-1)\ast bas{e}^{r-l+1}$

代码：

#include
using namespace std;
const int N=1e6+5;
const int base=131;
char s[N];
int n,q;
unsigned long long has[N],p[N];//注意:hash会被认为是编译错误
int main()
{
    scanf("%s",s+1);
    n=strlen(s+1);
    scanf("%d",&q);
    p[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        has[i]=has[i-1]*base+(s[i]-'a'+1);//前缀哈希1~i
        p[i]=p[i-1]*base;
    }
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        int l1,r1,l2,r2;
        scanf("%d%d%d%d",&l1,&r1,&l2,&r2);
        if(has[r1]-has[l1-1]*p[r1-l1+1]==has[r2]-has[l2-1]*p[r2-l2+1])//子串hash
            puts("Yes");
        else puts("No");
    }
    return 0;
}