向量的数量积,向量积,混合积

设两向量分别为 αβ

  • 数量积

    α • β = |α| |β| cosθ   (θ 为向量 αβ 的夹角)

    通过公式我们可以发现,两个向量的数量积就是一个数量

    数量积又称为点积或者内积

    ex: 在直角坐标系 {O; i, j, k} 中,设 α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3),

      α • β = (a1i + a2j + a3k)  (b1i + b2j + b3k) = a1b1 + a2b2 + a3b3

      即两向量的数量积之和等于它们对应坐标的乘积之和。

 

  • 向量积

    向量积是一个向量,通常表示为 α χ β

    1. 它的(即长度)为 |α χ β| = |α| |β| sinθ   (θ 为向量 αβ 的夹角)

    2. 方向垂直于向量 αβ,且 (α, β, α χ β) 构成右手系。

    向量积又称为叉积外积

     ex: 在直角坐标系 {O; i, j, k} 中,设 α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3),

      α χ β = (a1i + a2j + a3kχ (b1i + b2j + b3k)

         = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k

      行列式表示为

        

      即

        

  

  • 混合积

    向量α β 向量积,再与向量 γ 数量积,其结果为一个数量,称这个数量

    三向量的 α, β, γ 混合积,记为 (α, β, γ), 即

      (α, β, γ) = (α χ β) γ

    1. 三向量共面的充要条件为 (α, β, γ) = 0

    2. (空间向量基本定理)任意给定空间中三个不共面向量 α, β, γ,则空间中任一

      向量 ν 可以用 α, β, γ 唯一线性表示,即存在唯一一组实数 x, y, z 使

        ν = xα + yβ + zγ

     ex: 空间向量运算

      在直角坐标系 {O; i, j, k} 中,设 α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3),

    γ = (c1, c2, c3)

      

      即

      

    

    

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