源码共读行动每周一算法之——快速排序算法

快速排序是由东尼·霍尔所发展的一种排序算法。在平均状况下，排序 n 个项目要Ο(n log n)次比较。在最坏状况下则需要Ο(n2)次比较，但这种状况并不常见。事实上，快速排序通常明显比其他Ο(n log n) 算法更快，因为它的内部循环（inner loop）可以在大部分的架构上很有效率地被实现出来。

快速排序使用分治法（Divide and conquer）策略来把一个串行（list）分为两个子串行（sub-lists）。

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算法步骤：

1. 从数列中挑出一个元素，称为 “基准”（pivot）。

2. 重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区退出之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作。
   结果如下：
   | 比基准小的数 | 基准 | 比基准大的数 |
   return ： 基准的位置 mid

3. 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

递归的最底部情形，是数列的大小是零或一，也就是永远都已经被排序好了。虽然一直递归下去，但是这个算法总会退出，因为在每次的迭代（iteration）中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。

首先简单描述一下快速排序的基本思路

快速排序是基于分治模式处理的，对一个典型子数组A[p…r]排序的分治过程为三个步骤：

1. 分解：
   A[p..r]被划分为俩个（可能空）的子数组A[p ..q-1]和A[q+1 ..r]，
   使得：
   A[p ..q-1] <= A[q] <= A[q+1 ..r]

2. 解决：通过递归调用快速排序，对子数组A[p ..q-1]和A[q+1 ..r]排序。

3. 合并。

快速排序伪代码(来自算法导论)

 QUICK_SORT(A,p,r)
    if(p1)
             QUICK_SORT(A,q+1,r)

//核心函数，对数组A[p,r]进行就地重排，将小于A[r]的数移到数组前半部分，将大于A[r]的数移到数组后半部分。
PARTITION(A,p,r)
    pivot <—— A[r]
    i <—— p-1
    for j <—— p to r-1
        do if A[j] < pivot
            i <—— i+1
            exchange A[i]<——>A[j]
    exchange A[i+1]<——>A[r]
return i+1

示例：对以下数组，进行快速排序，下图示出了patition过程。

2 8 7 1 3 5 6 4(主元)

一个快速排序的实现代码如下

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#include 
int partition(int *arr,int low,int high)
{
    int pivot=arr[high];
    int i=low-1;
    int j,tmp;
    for(j=low;jif(arr[j]1];
    arr[i+1]=arr[high];
    arr[high]=tmp;
    return i+1;
}
void quick_sort(int *arr,int low,int high)
{
    if(lowint mid=partition(arr,low,high);
        quick_sort(arr,low,mid-1);
        quick_sort(arr,mid+1,high);
    }
}
//test
int main()
{
    int arr[10]={1,4,6,2,5,8,7,6,9,12};
    quick_sort(arr,0,9);
    int i;
    for(i=0;i<10;++i)
        printf("%d ",arr[i]);
}

算法复杂度

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最坏情况发生在划分过程产生的俩个区域分别包含n-1个元素和一个0元素的时候，
即假设算法每一次递归调用过程中都出现了，这种划分不对称。那么划分的代价为O（n），
因为对一个大小为0的数组递归调用后，返回T（0）=O（1）。
估算法的运行时间可以递归的表示为：

T（n）=T（n-1）+T（0）+O（n)=T(n-1)+O(n).

可以证明为T（n）=O（n^2）。
因此，如果在算法的每一层递归上，划分都是最大程度不对称的，那么算法的运行时间就是O（n^2）。

最快情况下快排时间复杂度：
最快情况下，即PARTITION可能做的最平衡的划分中，得到的每个子问题都不能大于n/2.
因为其中一个子问题的大小为|n/2|。另一个子问题的大小为|-n/2-|-1.
在这种情况下，快速排序的速度要快得多：

T(n)<=2T（n/2）+O（n）.可以证得，T（n）=O（nlgn）。

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